中考數學例題講解
【例１】如圖10，平行四邊形abcd中，ab＝5，bc＝10，bc邊上的高am=4，e為bc邊上的乙個動點（不與b、c重合）．過e作直線ab的垂線，垂足為f．fe與dc的延長線相交於點g，鏈結de，df。
（1）求證：δbef∽δceg．
（2）當點e**段bc上運動時，△bef和△ceg的周長之間有什麼關係？並說明你的理由．
（3）設be＝x，△def的面積為y，請你求出y和x之間的函式關係式，並求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？
解析過程及每步分值
（1） 因為四邊形abcd是平行四邊形， 所以 1分
所以所以 3分
（2）的周長之和為定值． 4分
理由一：
過點c作fg的平行線交直線ab於h ，
因為gf⊥ab，所以四邊形fhcg為矩形．所以 fh＝cg，fg＝ch
因此，的周長之和等於bc＋ch＋bh
由 bc＝10，ab＝5，am＝4，可得ch＝8，bh＝6，
所以bc＋ch＋bh＝24 6分
理由二：
由ab＝5，am＝4，可知
在rt△bef與rt△gce中，有：
，所以，△bef的周長是， △ecg的周長是
又be＋ce＝10，因此的周長之和是24． 6分
（3）設be＝x，則
所以 8分
配方得：．
所以，當時，y有最大值． 9分
最大值為． 10分
【例２】如圖二次函式y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與座標軸交於點a、b、c且oa＝1
ob＝oc＝3．
（1）求此二次函式的解析式．
（2）寫出頂點座標和對稱軸方程．
（3）點m、n在y＝ax2＋bx＋c的影象上(點n在點m的右邊)，且mn∥x軸，求以mn為直徑且與x軸相切的圓的半徑．
解析過程及每步分值
（1）依題意分別代入 1分
解方程組得所求解析式為 4分
（2） 5分
頂點座標，對稱軸 7分
（3）設圓半徑為，當在軸下方時，點座標為 8分
把點代入得 9分
同理可得另一種情形
圓的半徑為或 10分
【例3】已知兩個關於的二次函式與當時，；且二次函式的圖象的對稱軸是直線．
（1）求的值；
（2）求函式的表示式；
（3）在同一直角座標系內，問函式的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．
解析過程及每步分值
（1）由
得． 又因為當時，，即，
解得，或（捨去），故的值為．
（2）由，得，
所以函式的圖象的對稱軸為，
於是，有，解得，
所以．（3）由，得函式的圖象為拋物線，其開口向下，頂點座標為；
由，得函式的圖象為拋物線，其開口向上，頂點座標為；
故在同一直角座標系內，函式的圖象與的圖象沒有交點．
【例4】如圖,拋物線與x軸分別相交於點b、o,它的頂點為a,連線ab,把ab所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點o,得到直線l,設p是直線l上一動點.
（1）求點a的座標;
（2）以點a、b、o、p為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點p的座標;
（3）設以點a、b、o、p為頂點的四邊形的面積為s,點p的橫座標為x,當時,求x的取值範圍.
解析過程及每步分值
解：（1）∵
∴a(-2,-4)
（2）四邊形abp1o為菱形時，p1(-2,4)
四邊形abop2為等腰梯形時，p1()
四邊形abp3o為直角梯形時，p1()
四邊形abop4為直角梯形時，p1()
（3）由已知條件可求得ab所在直線的函式關係式是y=-2x-8,所以直線的函式關係式是y=-2x
①當點p在第二象限時，x<0,
△pob的面積
∵△aob的面積，∴∵，
∴即 ∴
∴x的取值範圍是
②當點p在第四象限是，x>0,
過點a、p分別作x軸的垂線，垂足為a′、p′
則四邊形poa′a的面積
∵△aa′b的面積∴∵，
∴ 即 ∴
∴x的取值範圍是
【例5】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計畫投資種植花卉及樹木，根據市場調查與**，種植樹木的利潤與投資量成正比例關係，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函式關係，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：
萬元）（1）分別求出利潤與關於投資量的函式關係式；
（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？
解析過程及每步分值
解：（1）設=,由圖①所示，函式=的影象過（1，2），所以2=，
故利潤關於投資量的函式關係式是=；
因為該拋物線的頂點是原點，所以設=，由圖12-②所示，函式=的影象過（2，2），
所以，故利潤關於投資量的函式關係式是；
（2）設這位專業戶投入種植花卉萬元（），
則投入種植樹木（）萬元，他獲得的利潤是萬元，根據題意，得
=+==
當時，的最小值是14；
因為，所以
所以所以
所以，即，此時
當時，的最大值是32.
【例6】如圖，已知，，現以a點為位似中心，相似比為9:4，將ob向右側放大，b點的對應點為c．
（1）求c點座標及直線bc的解析式;
（2）一拋物線經過b、c兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式並畫出函式圖象;
（3）現將直線bc繞b點旋轉與拋物線相交與另一點p，請找出拋物線上所有滿足到直線ab距離為的點p．
解析過程及每步分值
解:（1）過c點向x軸作垂線，垂足為d，由位似圖形性質可知：
△abo∽△acd， ∴．
由已知，可知：．
∴．∴c點座標為．
直線bc的解析是為：
化簡得：
（2）設拋物線解析式為，由題意得： ，
解得：∴解得拋物線解析式為或．
又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故捨去．
∴滿足條件的拋物線解析式為
（準確畫出函式圖象）
（3） 將直線bc繞b點旋轉與拋物線相交與另一點p，設p到直線ab的距離為h，
故p點應在與直線ab平行，且相距的上下兩條平行直線和上．
由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線bc的距離也為．
如圖，設與y軸交於e點，過e作ef⊥bc於f點，
在rt△bef中，，
∴．∴可以求得直線與y軸交點座標為
同理可求得直線與y軸交點座標為
∴兩直線解析式；．
根據題意列出方程組： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴滿足條件的點p有四個，它們分別是，，，.
【例7】如圖，拋物線交軸於a、b兩點，交軸於m點.拋物線向右平移2個單位後得到拋物線，交軸於c、d兩點.
（1）求拋物線對應的函式表示式；
（2）拋物線或在軸上方的部分是否存在點n，使以a，c，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點n的座標；若不存在，請說明理由；
（3）若點p是拋物線上的乙個動點（p不與點a、b重合），那麼點p關於原點的對稱點q是否在拋物線上，請說明理由.
解析過程及每步分值
【例8】如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點（點不與點，點重合），過點作直線，交邊於點，再把沿著動直線對折，點的對應點是點，設的長度為，與矩形重疊部分的面積為．
（1）求的度數；
（2）當取何值時，點落在矩形的邊上？
（3）①求與之間的函式關係式；
②當取何值時，重疊部分的面積等於矩形面積的？
解析過程及每步分值
解：（1）如圖，四邊形是矩形，．
又，，，
，．，．
，．（2）如圖1，由軸對稱的性質可知，，
，．由（1）知，，
，．，，．
在中，根據題意得：，
解這個方程得：．
（3）①當點在矩形的內部或邊上時，
，，，當時，
當在矩形的外部時（如圖2），，
在中，，
，又，，
在中，，．，，
當時，．
綜上所述，與之間的函式解析式是：．
②矩形面積，當時，函式隨自變數的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，
而，所以，當時，的值不可能是矩形面積的；
當時，根據題意，得：
，解這個方程，得，因為，
所以不合題意，捨去．
所以．綜上所述，當時，與矩形重疊部分的面積等於矩形面積的．
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