2013中考數學壓軸題動態幾何題型精選解析（三）
例題如圖1，在直角座標系中，已知點a（0，2）、點b（﹣2，0），過點b和線段oa的中點c作直線bc，以線段bc為邊向上作正方形bcde．
（1）填空：點d的座標為 ，點e的座標為 ．
（2）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過a、d、e三點，求該拋物線的解析式．
（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線bc同時向上平移，直至正方形的頂點e落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動．
①在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為s，求s關於平移時間t（秒）的函式關係式，並寫出相應自變數t的取值範圍．
②運動停止時，求拋物線的頂點座標．
思路分析：
（1）構造全等三角形，由全等三角形對應線段之間的相等關係，求出點d、點e的座標；
（2）利用待定係數法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常複雜，須小心思考與計算：
①為求s的表示式，需要識別正方形（與拋物線）的運動過程．正方形的平移，從開始到結束，總共歷時秒，期間可以劃分成三個階段：當0＜t≤時，對應圖（3）a；當＜t≤1時，對應圖（3）b；當1＜t≤時，對應圖（3）c．每個階段的表示式不同，請對照圖形認真思考；
②當運動停止時，點e到達y軸，點e（﹣3，2）運動到點e′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．由此得到平移之後的拋物線解析式，進而求出其頂點座標．
解：（1）由題意可知：ob=2，oc=1．
如圖（1）所示，過d點作dh⊥y軸於h，過e點作eg⊥x軸於g．
易證△cdh≌△bco，∴dh=oc=1，ch=ob=2，∴d（﹣1，3）；
同理△ebg≌△bco，∴bg=oc=1，eg=ob=2，∴e（﹣3，2）．
∴d（﹣1，3）、e（﹣3，2）．
（2）拋物線經過（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），
則 解得
∴．（3）①當點d運動到y軸上時，t=．
當0＜t≤時，如圖（3）a所示．
設d′c′交y軸於點f
∵tan∠bco==2，又∵∠bco=∠fcc′
∴tan∠fcc′=2，即=2
∵cc′=5t，∴fc′=25t．
∴s△cc′f =cc′fc′=t×t=5t2
當點b運動到點c時，t=1．
當＜t≤1時，如圖（3）b所示．
設d′e′交y軸於點g，過g作gh⊥b′c′於h．
在rt△boc中，bc=
∴gh=，∴ch=gh=
∵cc′=t，∴hc′=t﹣，∴gd′=t﹣
∴s梯形cc′d′g =（t﹣+t） =5t﹣
當點e運動到y軸上時，t=．
當1＜t≤時，如圖（3）c所示
設d′e′、e′b′分別交y軸於點m、n
∵cc′=t，b′c′=，
∴cb′=t﹣， ∴b′n=2cb′=t﹣
∵b′e′=，∴e′n=b′e′﹣b′n=﹣t
∴e′m=e′n=（﹣t）
∴s△mne′ =（﹣t）（﹣t）=5t2﹣15t+
∴s五邊形b′c′d′mn =s正方形b′c′d′e′ ﹣s△mne′ =（5t2﹣15t+）=﹣5t2+15t﹣
綜上所述，s與x的函式關係式為：
當0＜t≤時，s=5t2
當＜t≤1時，s=5t
當1＜t≤時，s=﹣5t2+15t
②當點e運動到點e′時，運動停止．如圖（3）d所示
∵∠cb′e′=∠boc=90°，∠bco=∠b′ce′
∴△boc∽△e′b′c
∴∵ob=2，b′e′=bc=
∴∴ce′=
∴oe′=oc+ce′=1+=
∴e′（0，）
由點e（﹣3，2）運動到點e′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．
∵= ∴原拋物線頂點座標為（，）
∴運動停止時，拋物線的頂點座標為（，）．
點評： 本題是非常典型的動面型綜合題，全面考查了初中數學代數幾何的多個重要知識點，包括：二次函式的圖象與性質、待定係數法求解析式、拋物線與幾何變換（平移）、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質等．難點在於第（3）問，識別正方形和拋物線平移過程的不同階段是關鍵所在．作為中考壓軸題，本題涉及考點眾多，計算複雜，因而難度很大，對考生綜合能力要求很高，具有很好的區分度．
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