平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。筆者在教學中總結了幾種方法，供中學生讀者參考。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。
［例1］如圖，c是線段ab上一點，△acd和△bce是等邊三角形。求證：ae=bd。
證明 ∵△acb和△bce都是等邊三角形
∴∠acd=60°，∠bce=60°，∠dce=60°
∴∠ace=∠acd＋∠dce=120°
∠bcd=∠bce＋∠dce=120°
∴ac=cd，ce=cb
∴△ace≌△dcb（sas）
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，點e在ab上，點f在ac的延長線上，且be=cf，ef與bc交於d，求證：ed=df。
證明：過點e作eg//af交bc於點g
∴∠egb=∠acb，∠egd=∠fcd
∵ab=ac
∴∠b=∠acb，∠b=∠fgb，be=ge
∵be=cf，∴ge=cf
在△egd和△fcd中，
∠egd=∠fcd，∠edg=∠fdc，ge=cf
∴△egd≌△fcd（aas） ∴ed=fd
二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。
［例1］如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上的一點，且be=ac，延長be交ac於f。
求證：af=ef。
證明：延長ad到g，使dg=ad，鏈結bg。
∵ad=gd，∠adc=∠gdb，cd=bd
∴△adc≌△gdb
∴ac=gb，∠fae=∠bge
∵be=ac
∴be=bg，∠bge=∠beg
∴∠fae=∠bge=∠beg=∠aef
∴ae=ef
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，df⊥bc於f，df與ac交於e，與ba的延長線交於d，求證：ad=ae。
證明：∵df⊥bc
∴∠dfb=∠efc=90°，∠d=90°－∠b，∠cef=90°－∠c
∵ab=ac，∴∠b=∠c
∴∠d=∠cef
∵∠cef=∠aed
∴∠d=∠aed
∴ad=ae
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。
［例1］如圖，△abc中，∠c=90°，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe和正△acd，de與ab交於f，
求證：ef=fd。
證明：過d作do⊥ac交ab於點o
∵od垂直平分ac，∠acb=90°
∴bc⊥ac
∴o點必為ab的中點，鏈結eo，則eo⊥ab
∵∠cab=30°，∠bae=∠cad=60°
∴ad⊥ab，ae⊥ac
∴oe//ad，ae//od
∴四邊形odae為平行四邊形
∴ef=fd
［例2］如圖，ad是△abc的中線，過dc上任意一點f作eg//ab，與ac和ad的延長線分別交於g和e，fh//ac，交ab於點h。
求證：hg=be。
證明：延長ad到a」，使da」=ad
又∵bd=cd
∴四邊形baca」是平行四邊形
∴ba=a」c
由題設可知hfga也是平行四邊形
∴hf=ag
∵hf//ac，∴
又∵，hf=ag，ba=a」c
∴bh=eg
∴四邊形begh是平行四邊形
∴hg=be
四、利用中位線證明線段相等
如果已知中含有中點或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。
［例1］如圖，以△abc的邊ab、ac為斜邊向外作直角三角形abd和ace，且使∠abd=∠ace，m是bc的中點。
證明：dm=em。
證明：延長bd至f，使df=bd。
延長ce到g，使eg=ce，鏈結af、fc，鏈結ag、bg
∵bd=fd，∠adb=∠adf=90°，ad=ad
∴rt△abd≌rt△afd
∴∠bad=∠fad
同理可得：∠cae=∠gae
∵∠abd=∠ace
∴∠fab=∠gac，故∠fac=∠gab
在△abg和△afc中，
ab=af，∠gab=∠caf，ag=ac
∴△abg≌△afc
∴bg=fc
又∵df=db，ec=eg，m是bc的中點
∴dm==em，即dm=em
［例2］如圖，△abc中，∠c為直角，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd，de與ab交於f。
求證：ef=fd。
證明：過d作dg//ab交ea的延長線於g，可得∠dag=30°
∵∠bad=30°＋60°=90°
∴∠adg=90°
∵∠dag=30°=∠cab，ad=ac
∴rt△agd≌rt△abc
∴ag=ab，∴ag=ae
∵dg//ab
∴ef//fd
五、利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，並且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。
［例］如圖，正方形abcd中，e、f分別為ab、bc的中點，ec和df相交於g，連線ag，求證：ag=ad。
證明：作da、ce的延長線交於h
∵abcd是正方形，e是ab的中點
∴ae=be，∠aeh=∠bec
∠bec=∠eah=90°
∴△aeh≌△bec（asa）
∴ah=bc，ad=ah
又∵f是bc的中點
∴rt△dfc≌rt△ceb
∴∠dfc=∠ceb
∴∠gcf＋∠gfc=∠ecb＋∠ceb=90°
∴∠cgf=90°
∴∠dgh=∠cgf=90°
∴△dgh是rt△
∵ad=ah
∴ag==ad
平面幾何中線段相等的幾種證明方法
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初中幾何中線段相等的證明黑莊戶中學
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