三角形的外心、重心、垂心、內心及旁心，統稱為三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關係密切的有圓心角定理和圓周角定理.
例1．過等腰△abc底邊bc上一點p引pm∥ca交ab於m；引pn∥ba交ac於n.作點p關於mn的對稱點p′.試證：p′點在△abc外接圓上.
(杭州大學《中學數學競賽習題》)
分析：由已知可得mp′=mp=mb，np′=np
=nc，故點m是△p′bp的外心，點
n是△p′pc的外心.有
∠bp′p=∠bmp=∠bac，
∠pp′c=∠pnc=∠bac.
∴∠bp′c=∠bp′p+∠p′pc=∠bac.
從而，p′點與a，b，c共圓、即p′在△abc外接圓上.
由於p′p平分∠bp′c，顯然還有
p′b:p′c=bp:pc.
例2．在△abc的邊ab，bc，ca上分別取點p，q，s.證明以△aps，△bqp，△csq的外心為頂點的三角形與△abc相似.
(b·波拉索洛夫《中學數學奧林匹克》)
分析：設o1，o2，o3是△aps，△bqp，
△csq的外心，作出六邊形
o1po2qo3s後再由外
心性質可知
∠po1s=2∠a，
∠qo2p=2∠b，
∠so3q=2∠c.
∴∠po1s+∠qo2p+∠so3q=360°.從而又知∠o1po2+
∠o2qo3+∠o3so1=360°
將△o2qo3繞著o3點旋轉到△kso3，易判斷△kso1≌△o2po1，同時可得△o1o2o3≌△o1ko3.
∴∠o2o1o3=∠ko1o3=∠o2o1k
o2o1s+∠so1k)
o2o1s+∠po1o2)
po1s=∠a；
同理有∠o1o2o3=∠b.故△o1o2o3∽△abc.
二、重心
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每
條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便於解題.
例3．ad，be，cf是△abc的三條中線，p是任意一點.證明：在△pad，△pbe，△pcf中，其中乙個面積等於另外兩個面積的和.
(第26屆莫斯科數學奧林匹克)
分析：設g為△abc重心，直線pg與ab
，bc相交.從a，c，d，e，f分別
作該直線的垂線，垂足為a′，c′，
d′，e′，f′.
易證aa′=2dd′，cc′=2ff′，2ee′=aa′+cc′，
∴ee′=dd′+ff′.
有s△pge=s△pgd+s△pgf.
兩邊各擴大3倍，有s△pbe=s△pad+s△pcf.
例4．如果三角形三邊的平方成等差數列，那麼該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：將△abc簡記為△，由三中線ad，be，cf圍成的三角形簡記為△′.g為重心，連de到h，使eh=de，連hc，hf，則△′就是△hcf.
(1)a2，b2，c2成等差數列△∽△′.
若△abc為正三角形，易證△∽△′.
不妨設a≥b≥c，有
cf=，
be=，
ad=.
將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得
cf=，be=，ad=.
∴cf:be:ad =::
a:b:c.
故有(2)△∽△′a2，b2，c2成等差數列.
當△中a≥b≥c時，
△′中cf≥be≥ad.
∵△∽△′，
∴＝()2.
據「三角形的三條中線圍成的新三角形面積等於原三角形面積的」，有=.
∴=3a2=4cf2=2a2+b2-c2
a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三條高的交戰，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.
例5．設a1a2a3a4為⊙o內接四邊形，h1，h2，h3，h4依次為
△a2a3a4，△a3a4a1，△a4a1a2，△a1a2a3的垂心.求證：h1，h2，h3，h4四點共圓，並確定出該圓的圓心位置.
(1992，全國高中聯賽)
分析：連線a2h1，a1h2，h1h2，記圓半徑
為r.由△a2a3a4知
=2ra2h1=2rcos∠a3a2a4；
由△a1a3a4得
a1h2=2rcos∠a3a1a4.
但∠a3a2a4=∠a3a1a4，故a2h1=a1h2.
易證a2h1∥a1a2，於是，a2h1 a1h2，
故得h1h2 a2a1.設h1a1與h2a2的交點為m，故h1h2與a1a2關於m點成中心對稱.
同理，h2h3與a2a3，h3h4與a3a4，h4h1與a4a1都關於m點成中心對稱.故四邊形h1h2h3h4與四邊形a1a2a3a4關於m點成中心對稱，兩者是全等四邊形，h1，h2，h3，h4在同乙個圓上.後者的圓心設為q，q與o也關於m成中心對稱.
由o，m兩點，q點就不難確定了.
例6．h為△abc的垂心，d，e，f分別是bc，ca，ab的中心.乙個以h為圓心的⊙h交直線ef，fd，de於a1，a2，b1，b2，c1，c2.
求證：aa1=aa2=bb1=bb2=cc1=cc2.
(1989，加拿大數學奧林匹克訓練題)
分析：只須證明aa1=bb1=cc1即可.設
bc=a， ca=b，ab=c，△abc外
接圓半徑為r，⊙h的半徑為r.
連ha1，ah交ef於m.
a=am2+a1m2=am2+r2-mh2
r2+(am2-mh2
又am2-hm2=(ah1)2-(ah-ah1)2
ah·ah1-ah2=ah2·ab-ah2
cosa·bc-ah2
而=2rah2=4r2cos2a,
=2ra2=4r2sin2a.
∴ah2+a2=4r2，ah2=4r2-a2
由①、②、③有
a=r2+·bc-(4r2-a2)
= (a2+b2+c2)-4r2+r2.
同理， = (a2+b2+c2)-4r2+r2，
= (a2+b2+c2)-4r2+r2.
故有aa1=bb1=cc1.
四、內心
三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.對於內心，要掌握張角公式，還要記住下面乙個極為有用的等量關係：
設i為△abc的內心，射線ai交△abc外接圓於a′，則有a ′i=a′b=a′c.換言之，點a′必是△ibc之外心(內心的等量關係之逆同樣有用).
例7．abcd為圓內接凸四邊形，取
△dab，△abc，△bcd，
△cda的內心o1， o2，o3，
o4.求證：o1o2o3o4為矩形.
(1986，中國數學奧林匹克集訓題)
證明見《中等數學》1992；4
例8．已知⊙o內接△abc，⊙q切ab，ac於e，f且與⊙o內切.試證：ef中點p是△abc之內心.
(b·波拉索洛夫《中學數學奧林匹克》)
分析：在第20屆imo中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件ab=ac.當ab≠ac，怎樣證明呢？
如圖，顯然ef中點p、圓心q，bc中點k都在∠bac平分線上.易知aq=.
∵qk·aq=mq·qn，
∴qk=
由rt△epq知pq=.
∴pk=pq+qk=+=.
∴pk=bk.
利用內心等量關係之逆定理，即知p是△abc這內心.
五、旁心
三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交於
一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內心聯絡在一起，
旁心還與三角形的半周長關係密切.
例9．在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.
式中r，ra，rb，rc分別表示內切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周.
(杭州大學《中學數學競賽習題》)
分析：設rt△abc中，c為斜邊，先來證明乙個特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
∵p(p-c)= (a+b+c)·(a+b-c)
a+b)2-c2]
=ab；
(p-a)(p-b)= (-a+b+c)·(a-b+c)
c2-(a-b)2]= ab.
∴p(p-c)=(p-a)(p-b
觀察圖形，可得
ra=af-ac=p-b，
rb=bg-bc=p-a，
rc=ck=p.
而r= (a+b-c)
=p-c.
∴r+ra+rb+rc
=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及圖形易證.
例10．m是△abc邊ab上的任意一點.r1，r2，r分別是△amc，△bmc，△abc內切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在∠acb內部的旁切圓半徑.證明：·=.
(imo-12)
分析：對任意△a′b′c′，由正弦定理可知
od=oa′·
=a′b′··
=a′b′·，
o′e= a′b′·.
∴.亦即有
·=六、眾心共圓
平面幾何競賽講座 三 三角形的「五心」
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中學幾何問題經典解析 三角形五心 附練習
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三角形五心及證明
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