七年級下冊7．2 與三角形有關的角教案
教學重點：三角形的內角和定理；三角形的內角與外角的關係．
三角形內角和定理是本單元的重要內容，也是平面幾何中基本的運算公式．在今後學習其他平面幾何知識時，本定理是乙個必要的知識儲備，同時也是學生解決有關角度計算問題的有力工具，在初中平面幾何中比較常用．三角形的內角與外角的關係定理是在內角和定理的基礎上引申出來的，在初中數學知識體系中，也是比較常用的乙個知識點，經常用來解決圖形中求角度的問題，另外，在後面的四邊形、圓的證明題中也比較常用．
在學習本節的定理時，由於記憶和理解三角形內角和定理都不難，關鍵在於能否利用這個定理培養學生的分析問題和解決問題的能力．由於該定理的形成概念過程可以通過多種新增輔助線的方法獲得，所以**定理的過程能夠培養學生思維的靈活性．而三角形外角與內角的關係定理和三角形的內角和定理聯絡比較緊密，教師應在講完三角形的外角定義後，充分引導學生思考三角形的內角和定理，盡量讓學生自己發現：「三角形的外角等於與它不相鄰的內角的和」這個結論，能夠使學生掌握起來更加容易，培養學生思維的靈活性．有了這個定理作基礎，「三角形的外角大於任乙個與它不相鄰的內角」就非常容易得出了．另外，教師在教學中要注意：學生可能不會說出「與它不相鄰」這個關鍵詞，教師最好不要直接予以強調，可讓學生自己組織語言，若學生總結有困難，教師再作詳細的講解．
教學難點：三角形內角和定理證明的理解；三角形內角和定理、內角與外角關係的應用．
對於三角形內角和定理，要求學生進行比較規範的邏輯證明，而定理本身的邏輯性比較強，這就使本內容成為了本節課的難點內容．學生在應用三角形的內角與外角關係定理時，往往會在讀圖時意識不到利用外角來解決問題，不僅是在剛學過時，在今後利用這個結論解決其他問題時也會常出現．
突破難點時，主要利用課前準備好的三角形紙片，讓學生動手操作，體驗思考和實驗的過程，加深理解和記憶．另外，教學中還可輔以動畫或**，對公式的推理過程進行明確的演示．教師在活動過程中進行總體的要求和個別的指導，如下方法可供參考：
1、剪拼法：（可以利用剪紙或動畫來展示）把乙個三角形紙板的兩個角剪下，分別拼在第三個角的兩側（或按順序拼在第三個角的同側），可以很清晰的看三個角組成了乙個平角，再由平角的定義可以得出三角形的內角和為180°．
2、摺疊法：（可以利用剪紙或動畫來展示）在已有的三角形紙板上標出任意兩邊的中點，沿這兩個中點的連線摺疊，將乙個角的頂點折到其對邊，使角的頂點落在對邊上；再分別沿這兩個中點向第三邊作垂線，將另外兩個角的頂點折向中間，與前乙個角的頂點重合，這樣也可以清楚地看到三個角組成了乙個平角．
由於學生邏輯推理能力還不夠高，所以對於幾何證明還有相當的難度．這裡要注意根據不同的學生狀況，提出不同的要求．不要要求學生必須都獲得多種證明的方法，要以能力培養為主，重點說明證明的過程、書寫方法、證明的必要性和合理性．在習題講解時，教師應盡可能多地展示一些典型例題，充分引導學生的思維，培養學生多角度讀圖的能力，尤其是比較複雜的圖形，由於三角形比較多，用到三角形外角的可能性就比較大，教師在講解時，應重點強調哪個角是哪個三角形的外角，讓學生讀圖時將著眼點放在這個三角形上．經過一系列的強化，相信學生會比較熟練的利用這個定理解題．
圖1圖2
問題1：圖形2中∠1是原三角形中答案：b）
圖形中∠2是原三角形中答案：a）
圖形中∠3是原三角形中答案：c）
問題2：這個三角形三個內角有什麼樣的關係？(這三個內角的和為180°)
(2)剪一剪，拼一拼
將三角形硬紙片的兩個角剪下，使它們的頂點與另乙個角的頂點重合，將它們拼湊在一起．觀察三角形的內角和．（利用動畫：三角形的內角和）讓學生進行自由猜想，選擇自己喜歡的方法，新增輔助線，形成定理的證明思路．
(3)嘗試證明
小組討論每個同學的想法，尋求一種比較簡潔的輔助線新增方法，然後進行邏輯證明．（根據學生的能力提出不同的難度，對於一些好學生，可以要求兩種以上的證明方法,其他學生完成以下證明）
圖3圖4
問題1：如圖3，∠b和∠c分別拼在了∠a的左右，這三個角的和等於多少？
問題2：∠b和∠c各有一條邊落在直線l上，直線l和△abc的邊bc有什麼關係？由此圖你能說明三角形的內角和為什麼等於180°嗎？
如圖3，過點a作bc的平行線l，
∵ l∥bc，
∴∠1=∠4.（兩直線平行，內錯角相等）
∠2=∠5.（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠3+∠4+∠5=180°,（1平角=180°）
∴∠1+∠2+∠3=180°.（等量代換）
∴三角形內角和等於180°．
問題3：仿照圖3的方法，你能由圖4說明三角形內角和為什麼等於180°嗎？
問題4：你還有其它的剪拼方法嗎？
2．三角形的外角，從詞義上理解，就應該是與三角形有關的．在三角形外面的角．大家任意畫乙個三角形，請你嘗試在三角形的外面畫出乙個你認為是外角的角．
即使有的學生畫出的所謂外角是錯誤的，教師對學生的作圖也要充分肯定，引導學生通過延長三角形的邊得出外角，並給出外角的定義．
分析定義的本質：讓學生將乙個三角形的所有外角都畫出來，並觀察乙個三角形有幾個外角，以及外角的構成的．
結論：外角有六個，並且兩兩相等；每個外角是由三角形的一條邊和另一邊的延長線組成的．
3．探索三角形外角的性質
從外角和內角的關係看，同學們能夠得出什麼好的結論？
組織討論，可能得到如下結論：
外角比內角大；內角在三角形的內部，外角在三角形的外部；……．
從學生的答案中尋找合理的因素，進行必要的引導，其中有正確的，也有不全面的，讓學生們進行觀察和討論，尤其是針對外角比內角大的結論進行充分的討論，比如舉出直角三角形或鈍角三角形對以上結論進行顛覆，然後再討論如何才能把握得當，進而得出：「每個三角形的外角都大於與它不相鄰的內角」，或得出「三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和」；隨著其中乙個的得出，另乙個就能馬上得出．
在學生理解了上述兩個結論後，引導學生對這兩個結論進行理論說明，利用三角形的內角和定理以及平角的定義進行推理證明，可以讓學生先口頭敘述，然後寫出來，對於大部分學生應不成問題，教師可以對少數學生進行必要的指導．
4．視角問題
教師給出視角的定義，可舉出實際中的例子，幫助學生理解視角的定義．
（三）應用新知，體驗成功
1．典型例題：利用**資源中的典型例題進行教學．
2．練一練
(1)滿足條件∠a=∠b=∠c的△abc是三角形，
(2)如圖5，在△abc中，∠b、∠c的平分線交於點o，試證明：∠boc=90°+∠a.
圖5 （四）課堂小結，體驗收穫
通過本節學習你有哪些收穫？教師可以進行引導和提示，讓學生自主進行總結，並且教師應給予肯定．
1．三角形的內角和定理及其應用．
2．關於視角的定義．
3．用剪拼和摺疊的方法推導數學定理．
4．三角形外角的定義及個數．
5．三角形外角與不相鄰內角的大小關係．
6．三角形的外角與兩不相鄰內角的數量關係．
（五）拓展延伸，布置作業
1．將「三角形三個內角和等於180°」這個一般結論運用到特殊三角形中又能發現什麼結論呢？
2．教師可指導學生閱讀資源庫中的拓展資源進行學習，拓展學生的知識面．
3．如圖6：從a處觀測c處時仰角∠cad＝30°，從b處觀測c處時仰角∠cbd＝45°，從c處觀測a，b兩處時視角∠acb是多少？
4．如圖7：一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形abcd，其中∠a＝150°，∠b＝∠d＝40°．求∠c的度數．
圖6圖7
五、教學評價：
(一)選擇題
1．已知△abc中，∠a=20°，∠b=∠c，那麼△abc是（ ）
（a）銳角三角形. （b）直角三角形. （c）鈍角三角形. （d）等邊三角形.
2．三角形的乙個內角等於其餘兩個內角的和，則這個三角形是 （ ）
（a）銳角三角形. （b）等腰三角形. （c）直角三角形. （d）鈍角三角形.
3．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4的值為（ ）
（a）180°. （b）450°. （c）270°. （d）360°.
第3題第4題）
(二)填空題
4．如圖，∠ｂ＋∠ｃ＝110°，∠ｄ＝70°，則∠ａ＝_____度.
5．等腰三角形中，乙個角為80°，則這個等腰三角形的頂角的度數為_______.
(三)解答題
6．如圖，∠1=∠2=30°，∠3=∠4，∠a=80°，求∠5和∠6的度數．
等腰三角形中，乙個角為80°，則這個等腰三角形的頂角的度數為_______.
第6題第7題
7．如圖，ab∥cd，∠a＝43°，∠c＝42°，求∠m的度數.
8．如圖，在△abc中，∠a=70°，∠b=50°，cd平分∠acb，求∠acd的度數．
第8題第10題）
9．已知△abc三個內角的度數之比為2：3：4，求與這三個內角相鄰的三個外角的度數之比．
10．如圖，已知在△abc中，ab＝ac，∠a＝40°，∠abc的平分線bd交ac於d.求：∠adb和∠cdb的度數.
答案：(一)選擇題
1．a，三角形三個內角都小於直角. 2．c，其中有乙個內角為直角. 3．a．提示：∠1＋∠2＝∠bdc．
(二)填空題
4．40°.提示：∠abc5．20°或80°.提示：考慮當80°為底角或頂角兩種情況.
(三)解答題
6． ∠5=110°，∠6=130°，∠5=∠1+∠a，∠6=∠5+∠4，而∠4可通過三角形abc的內角和來求∠4=20°．
7．85°.提示：如下圖，連線ac，由∠bac+∠acd＝180°，得∠mac+∠mca＝95°，所以∠m＝85°.
第7題）
8． 30°，可求得∠acb=60°．
9．7：6：5，利用三角形內角和可分別求出三個內角度數：40°，60°，80°．則對應的三個外角度數為：140°，120°，100°．
10．∠adb＝105°，∠cdb＝75°.
提示：由三角形內角和定理得：∠abc＝∠acb＝70°，所以∠abd＝∠dbc＝35°，再利用內角和定理即可.
與三角形有關的角
知識點 三角形內角和定理 1 內容 角形三個內角的和等於180 即可以表示為 在中，有.2 作用 在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角之間關係，求各角 已經知道了三角形的內角和等於180 但要注意的是在解決實際問題時，這一點是不會在已知中告訴你的，也就是往往要把它作為隱含的條件來用，因此在解決此...
《與三角形有關的角 三角形內角》導學案
bap bac caq 180 b c bac 證明是由出發，經過一步步的推理，最後推出的過程。說明 在以上的證明中，直線pq,射線ce,cd都是根據證明的需要而新新增的線，它們都是輔助線，要用虛線表示。歸納 1 三角形內角和的定理證明中，新增輔助線的實質是通過平行線來移動角 2 將要證明三角形三個...
與三角形有關的線段
一 三角形的邊 容易 1.以下列各組線段為邊，能組成三角形的是 答案 b.2.已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是 答案 b 3.小明和小麗是同班同學，小明的家距學校2千公尺遠，小麗的家距學校5千公尺遠，設小明家距小麗家x千公尺遠，則x的值應滿足 答案 d 4.已知三角形三邊的長...