【重點解讀】
證明兩線段相等或兩角相等是中考命題中常見的一種題型，主要考查學生的分析問題能力、邏輯思維能力與推理能力，其綜合證明難度有所降低，但增加了探索的思維過程. 解決此類問題的關鍵是：正確運用所學幾何概念、公理、定理、性質、判定，正確新增輔助線，進行幾何證明的敘述.
⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質有：
⑴ 三角形①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等，全等形包括平移型、旋轉型、翻摺型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；
⑤角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；
⑥過三角形一邊的中點平行於另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；
②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等；
③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；
⑶ 圓①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直於弦的直徑平分這條弦；
平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都相等；
④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；
⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質：若a=b，則a－c=b－c；若，則a=b.
此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比
例的性質等證明線段相等.
⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質有：
⑴ 同角（或等角）的餘角、補角相等；
⑵ 證明兩直線平行，同位角、內錯角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的對應角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；
⑹ 平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等；
⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等；
⑻ 弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角；
⑼ 從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角；
⑽ 圓的內接四邊形的乙個外角等於它的內對角；
⑾ 通過計算證明兩角相等；
⑿ 等量代換，等式性質.
【典題精析】
例1已知：如圖，分別延長菱形abcd的邊ab、ad到點e、f，使得be＝df，
鏈結ec、fc．求證：ec＝fc
總結：通過證三角形全等來證明兩線段（或兩角）相等是常用的方法，關鍵是根據已知條件及圖形找到對應的三角形和滿足全等的條件，圖形有的翻摺全等，有的旋轉全等，有的平移全等，有的是三者的綜合形式，該問題是翻折型全等.
例2已知：ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，連線ac，過點c作直線cd⊥ab於點d，e是ab上一點，直線ce與⊙o交於點f，鏈結af，與直線cd交於點g.
求證：⑴∠acd=∠f；⑵ac2=ag·af.
總結：證明線段相等或角相等時，如果沒有三角形全等，我們常找與它們都相關或都有聯
系的線段或角作為橋梁，實現線段之間的轉化或角之間的轉化，從而證明它們的等量關係. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的線段要熟悉.
例3已知：如圖，四邊形abcd內接於⊙o，過點a的切線與cd的延長線交於e，
且∠ade=∠bdc. ⑴求證：△abc為等腰三角形；⑵若ae=6，bc=12，cd=5，求ad的長.
例4已知：如圖，正△abc的邊長為a, d為ac邊上的乙個動點，延長ab至e使be=cd，鏈結de，交bc於點p. ⑴ 求證：dp=pe；⑵ 若d為ac的中點，求bp的長.
總結：新增輔助線是幾何證明和計算中常用的方法，通常有作平行線、作垂線、鏈結兩點、延長線段相交等，正確新增輔助線是解決問題的關鍵.
思考：若將條件正△abc改為等腰△abc，ab=ac，結論dp=pe是否仍成立？
若將條件正△abc改為等腰△abc，ca=cb，結論dp=pe是否仍成立？
例5已知：△abc中，ad是高，ce是中線，dc=be，dg⊥ce，g是垂足，
求證：⑴g是ce的中點；⑵∠b=2∠bce.
總結：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質有：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質通常有以下變形形式：
已知等腰和高、已知頂角平分線和高、已知等腰和底邊中線. 特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關係有著密切關係.
例6如圖，⊙o的內接△abc的外角∠ace的平分線交⊙o於點d，df⊥ac，垂足為f，de⊥bc，垂足為e，給出下列4個結論：①ce=cf；②∠acb=∠edf；③de是⊙o的切線；
④=；其中一定成立的是（ ）
abcd . ①②④
總結；一般的，證明線段相等或角相等，可根據條件尋找三角形，證三角形全等；無三角形全等時，可找與之相關連的線段或角，探索等量關係；證明弧相等，可以轉化為證明弧所對的圓周角或圓心角相等，即轉化為證明角相等的問題.
鞏固練習：
⒈ ⑴如圖，△abc中，∠b的平分線與∠acb的外角平分線相交於點d，則∠d與∠a的比是________
⑵如圖，△abc是直角三角形，bc是斜邊，將△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp＇重合. 如果ap=3，那麼pp＇的長為_______.
⒉ ⑴如圖，∠b、∠c的平分線交於點p，過點p作ef∥bc，交ab於e，交ac於f，則( )
a. ef=eb+fc b. ef>eb+fc
c. ef⑵在rt△abc中，af是斜邊bc上的高線，且bd=dc=fc=1，則ac的長為（ ）
a. b. c . d.
⑶在△abc中，∠b=2∠c，則（ ）
a. 2ab=ac b. 2ab>ac c. 2ab⑷在⊙o中，如果，那麼弦ab與cd的大小關係是( )
a. ab=2cd b. ab>2cd c. ab<2cd d. 不能確定
⒊ 如圖，已知：平行四邊形abcd中，e是ca延長線上的點，f是ac延長線上的點，且ae=cf
求證：⑴∠e=∠f；⑵be=df
⒋ 如圖，△abc中，高bd、ce交於點f，且cg=ab，bf=ac，連線af，
求證：ag⊥af
⒌ rt△abc中，∠a=90°，ab=ac，d為bc上任意一點，df⊥ab，de⊥ac，垂足分別為f、e，m為bc中點，試判斷△mef是什麼形狀的三角形，並說明之.
⒍ 如圖，ab是⊙o的直徑，dc切⊙o於c，ad⊥dc，垂足為d，ce⊥ab，垂足e
求證：cd=ce.
⒎ 已知：如圖，ad是△abc外角∠eac的平分線，交bc的延長線於點d. 延長da交△abc的外接圓於點f.
⑴求證：fb=fc；
⑵若，求fb的長.
⒏ 梯形abcd中ab//cd，對角線ac、bd垂直相交於h，m是ad上的點，mh所
在直線交bc於n. 在以上前提下，試將下列設定中的兩個作為題設，另乙個作為結論
組成乙個正確的命題，並證明這個命題. ①ad=bc ②mn⊥bc ③am=dm
怎樣證明關於線段的幾何等式
【重點解讀】
線段的幾何等式，主要涉及線段的倍分關係式、和差關係式、比例式、等積式等.
證明線段倍分關係的定理和方法有：三角形和梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質、特殊四邊形的性質等；探索、證明線段的倍分關係式，一般轉化為證明線段的相等關係，採用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 證明線段的和差關係式，一般思路將線段加長或截短，轉化為證明線段相等，利用等量代換或等式性質.
證明線段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四條線段放入兩個三角形，如果這兩個三角形相似，且所給線段是對應線段，則問題得證；如果找不到兩個三角形，或者找到的三角形不相似，可考慮將四條線段中的某些線段進行等量代換，再按上述方法探求證明；如果明顯沒有等量線段可替換，可找中間比.
證明線段等積式的一般思路：先看等積式是否滿足有關定理（射影定理、圓冪定理），如果滿足，則結論成立；如果不滿足，可把等積式化成比例式、或替換部分後化成比例式，再按比例式的證明方法證明.
證明過程中常用的定理和性質有：比例性質、相似三角形的判定和性質、射影定理、圓冪定理、平行線分線段成比例定理.
例1已知：e為平行四邊形abcd中dc邊的延長線上的一點，且ce=dc，鏈結ae，分別交bc、bd於點f、g，連線ac交bd於o，鏈結of，求證：ab=2of
總結：線段之間的倍分關係式，常聯想用中位線定理.
例2已知：△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ae是過a的一條直線，bd⊥ae於d，ce⊥ae於e，
求證：⑴若b、c兩點分別在ae的異側，bd=de+ce；
⑵若b、c兩點分別在ae的同側，其餘條件不變，則bd與de、ce的關係如何，證明你的猜想.
例3如圖，△abc內接於圓，d是弧bc的中點，ad交bc於e，
求證：例4已知：如圖，等腰△abc的頂角為銳角，以腰ab為直徑的圓交bc於d，
交ac於e，df⊥ac，垂足為f
求證總結；解題時，要充分利用已知條件，已知條件中的特殊條件更要發掘其內涵，注意條件之間的內在聯絡的運用.
例5已知：bc為圓o的直徑，ad⊥bc垂足為d，過點b作弦bf交ad於點e交半圓o於點f，弦ac與bf交於點h，且a為弧bf的中點.
怎樣證明兩線段相等
求證兩線段相等是平面幾何中的重要題型，其證明方法較多。為幫助初三學生掌握一些常見的證法，本文在 幾何 第 二 三冊知識範圍內，歸類總結若干方法如下，供初三學生複習時參考。證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理 性質有 1.三角形 兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊 證明三角形全等 全等三角形的對...
50道幾何求角度 證明線段相等 證明角相等的習題
1 如圖，ab bc於b，ef ac於g，df ac於d，bc df。求證 ac ef。2 已知ac平分角bad，ce垂直ab於e，cf垂直ad於f，且bc cd，求證 bce全等 dcf。3.如圖所示，過三角形abc的頂點a分別作兩底角角b和角c的平分線的垂線，ad垂直於bd於d，ae垂直於ce於...
高中數學競賽輔導 證明線段或角相等
1 基礎知識 1 證明兩線段相等的常用方法 利用全等三角形 利用角平分線和線段中垂線性質 利用等腰三角形 平行四邊形 如矩形 正方形 等腰梯形等特殊圖形的性質 利用圓的基本性質 利用反證法 利用面積法 利用線段線段的積性等式 利用同一法 利用三角度量公式進行代數 三角法 2 範例解讀 1 p為 ab...