教與學過程設計
第一課時兩角和與差的余弦、正弦、正切（一）
（一） 引入
上次我們曾留了個問題，求=？
對於象750（可以看成300+450）這樣的半特殊角，雖然能通過查表來求其三角函式值，但太麻煩，能不能不查表求值呢？這就牽涉到兩角和的三角函式問題，今天我們就開始學《兩角和與差的余弦、正弦》（板書）。
對於任意角，嗎？
顯然：≠>1，矛盾。
故。那應該等於什麼呢？
（二） 新課
一、 平面內兩點的距離公式
在學這部分內容之前我們還需先掌握乙個有力的工具——平面兩點間的距離公式。
例項1：解決x軸上兩點的距離
a：已知點m1（3，0）和m2（7，0）。問這兩點的位置在那裡？它們之間的距離是多少？如何計算？
b：已知點m1（3，0）和m2（-7，0）。問這兩點的位置在那裡？它們之間的距離是多少？如何計算？
c：歸納：m1m2=|x2-x1|
d：學生理解、記憶片刻後問：如果兩點在y軸上呢？情況會如何？（目的：訓練學生模擬思維）
例項2：解決y軸上兩點之間的距離
a：歸納：n1n2=|y2-y1|
b：已知點n1（0，3）和n2（0，-7）。問這兩點的位置在那裡？它們之間的距離是多少？如何計算？
例項3：解決座標平面上任意兩點之間的距離
b：已知點p1（x1，y1）和p2（x2，y2）為座標平面上任意兩點。問它們之間的距離是多少？如何計算？
c：歸納：p1p2=（口訣：平面上兩點之間的距離等於它們座標差的平方和的算術根）
d：求p1（-3，4）與p2（2，-6）之間的距離。
（答案：）
二、 兩角和的余弦公式的推導
1．在直角座標系中，單位圓與x軸的正半軸交於p1（1，0）；以ox為始邊作出角，角的終邊與單位圓交於p2，其座標為？（cosα,sinα）
2．以op2為始邊作角，其終邊與單位圓交於p3，其座標為？（cos(α+β),sin(α+β)），為什麼？
3．再作出角-β，其終邊與單位圓交於p4，其座標為（cos(-β),sin(-β)）；
4.連線p1p3，p2p4，線段p1p3，p2p4之間有什麼關係？由三角形全等知，p1p3=p2p4；
5．利用兩點間的距離公式，我們可得到：
整理，得：
所以注意：這個公式對任意的角都成立。這條公式稱為兩角和的余弦公式，簡記為（）
6． 回顧和記憶公式。
（1）符號：。說明：這只是公式的名稱，表示兩角和的余弦公式。後面還有類似的公式寫法。
（2）記憶：
學生練習： =？
三、 化歸思想**
1．問：的含義是什麼？（兩角差的余弦公式）
2．問：如何解決cos（α-β）？引導到cos[α+（-β）]
3．說明：新的知識要盡量與舊的知識產生聯絡，像這種將新知識轉向舊知識的方法，叫做化歸思想。在數學中是常見的。
4． cos（α+β）對比記憶。
例1 求證：；
說明：證明（2）時，將（1）式中的用代替；（1）式學生練習。
四、 用化歸思想**
1．的含義是什麼？
2．從化歸的思想來看，肯定要尋求sin（α+β）與cos（α+β）或cos（α-β）之間的聯絡。有什麼聯絡？
3．sin（α+β）= cos[90cos[（90°-α）-β]如何？
4．師生共同推導，得出：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
5．記憶：
a：這就是兩角和的正弦公式，符號是
b：與cos（α+β）、cos（α-β）聯合記憶。
五、 用化歸思想**sin（α-β）
1.說明：剛才我們用化歸的思想處理了和現在請同學們學生獨立處理、**；
2．集體校對。
例2 求105°和15°的正弦、余弦。
處理：學生練習，教師小結——化為特殊角的和差。
六、 練習：p38。t1、口答；t2（1）（2）（3）（4）學生練習，板演，講評。
（三） 總結：
一、 小結公式的邏輯關係：用定義和單位圓推出，然後用化歸思想將其餘的公式歸結到已學的公式。
二、 小結公式的記憶方法：
（四） 作業：
一、 複習；二、課本p40，2，3
第二課時兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）
（一） 複習與引入
1．寫出正余弦和差公式的左邊，由學生填寫右邊式子。同時說明記憶規律：
兩角和差的余弦公式：ccss，正負相反；
兩角和差的正弦公式：scsc，正負一致。
小結公式的用法：將一般角化為特殊角，將未知化為已知。
2．總結數學化歸思想的本質和意義：
a：將未知化為已知，將未學化為已學。
b：為解決新問題提供一種有效的思路。
學生練習1：求值：p38-39第5題（2）（1）cos700sin400-sin700cos400（3）（4），教師寫乙個，學生解乙個。
求cos(π+α)，說明誘導公式可看成和（差）公式的特例，你們可推導其他。
說明：一般來說，求兩角和差的三角函式值，如果其中乙個角為的整數倍，那麼往往利用誘導公式會簡單。
（二） 新課
一、兩角和與差的正切公式
請利用我們已學知識推導兩角和的正切公式，在教師適當的引導下得出。的含義是什麼？如何推導兩角差的正切公式？
說明：推導公式時，要求cos(α+β)，cosα，cosβ都不等於零。
學生練習2：1、化簡（1）；（2）
2、求1050，150的正切值。
3、已知，（1）求；（2）若都是銳角，求證
處理：師生討論，教師板演；注意三角函式並非一一對應。
二、正弦、余弦、正切的和（差）角公式的內在聯絡如下：
三、兩角和（差）的正弦、余弦、正切公式的綜合運用
例1 已知，求（1），，；（2）
處理：第乙個教師講解，板演；後兩個學生練習，校對。
學生練習3：（1）化簡
（2）已知，且，求的值。
處理：師生討論，教師板演。目的是要靈活運用兩角和差公式。
例2 計算的值.（）
處理：引導學生思考，教師板演。進一步求
（三） 小結
在本小節的公式中，兩角和與差的正弦、余弦公式是基礎，特別是兩角和的余弦公式，它幾乎是這一章的中心公式，我們今後要學的其他三角公式，全部可以由它推導，甚至是誘導公式。要記住、運用、熟練運用、靈活運用這些公式只有乙個辦法：多作題目，從作題中找感覺，數學的感覺是從作題中得出的。
（四） 作業
1．p40-41 第1，4（2），5，9（2），11題
2．每課一練《兩角和與差的正弦、余弦、正切（一）》
第三課時兩角和與差的余弦、正弦、正切（三）
（一） 新課
今天練習量很大，我們先從簡單開始，慢慢進入狀態。
例1 求證
說明：1、複習兩角和與差的正弦公式；
2、重溫恒等式證明的一般原則：（1）化繁為簡；（2）化切為弦；
3、變式：化簡
例2 求證
說明：從右到左顯然要簡單，從左到右要體現技巧和能力，關鍵是如何配湊出角。
學生練習1：化簡（1）；（2）；（3）
處理：師生討論，教師板演。
學生練習2：p40 練習2，3
處理：學生板演，教師講評。
例3 已知一元二次方程的兩個根為，求的值；進一步：求。
說明：雖然是方程的兩個根，但我們並不需要求出它們。
學生練習3：p40 練習1
例4 （p40練習4（1））證明：
（二）誘導公式總結
1．以；為例，引導給出誘導公式的記憶口訣：「奇變偶不變，符號看象限」
2．寫下？？？？？？讓學生口答。
目的：熟練口訣。
例4 求值：（1）；
（2）。
處理：教師板演（1），（2）作為學生練習。
（三）小結
在本小節的公式中，兩角和與差的正弦、余弦公式是基礎，特別是兩角和的余弦公式，它幾乎是這一章的中心公式，我們今後要學的其他三角公式，全部可以由它推導，甚至是誘導公式。要記住、運用、熟練運用、靈活運用這些公式只有乙個辦法：多作題目，從作題中找感覺，數學的感覺是從作題中得出的。
（四）作業
1． p41-42第8（5）（6）（7）（8），10，14題
2． 每課一練《兩角和與差的正弦、余弦、正切（二）（三）》
第四課時兩角和與差的余弦、正弦、正切（四）
（一）在三角形中的應用
例1 如圖，在△abc中，ad⊥bc，垂足為d，
且bd：dc：ad=2：3：6，求∠bac的度數。
說明：師生討論，教師板演。
例2 在△abc中，已知sina=,cosb=，求cosc的值.
說明：三角形內角和為1800的應用。
例3 在△abc中，求證：tana+tanb+tanc=tanatanbtanc.
說明：1、在a+b=π-c的兩邊取正切，然後整理可得。
2、將條件改為a+b+c=nπ（n∈z），再證；
3、進一步——求證：tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x)
4、這就是數學中的和諧美20分鐘）
（二） 平方技巧的應用
例4 已知，求的值。
說明：1、充分利用兩弦平方和等於1與和差角正、余弦公式關係解題。
2、進一步：已知，求的值。
25分鐘）
（三）求值與化簡
例5 求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）tan150+tan300+tan150tan300；（4）
處理：（1）將90看成150-60，即可消去後項；
（2）100看成300-200，此法稱為「拆角法」，目的是減少項數（化簡）；
（3）進一步：已知a，b為△abc的內角，並且（1+tana）（1+tanb）=2，則a+b=？
學生練習：若a+b=2252，求證：（1+tana）（1+tanb）=2。
（4）是（3）的推廣40分鐘）
例6 已知，求的值。
（四）條件證明題（備用題）
例7 若，且，，求證：
說明：條件恒等式證明題是乙個難點，可從結論推條件（分析法）。
第五課時兩角和與差的余弦、正弦、正切（習題課）
例1 求下列各式的值：
（1）；（2）tan150+tan300+tan150tan300；（3）
兩角和與差的正弦,余弦和正切公式 2
高三導學案學科數學編號編寫人張云飛審核人使用時間班級 小組姓名小組評價 教師評價 課題 兩角和與差的正弦，余弦和正切公式 第 2 課時 學習目標 能運用三角公式進行簡單的恒等變換。重點難點 重點 公式的靈活運用 難點 轉化思想。使用說明及學法指導 獨立完成知識梳理和基礎自測題 限時完成預習案，識記基...
兩角和與差的正弦 余弦 正切經典例題分析
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兩角和 差正切
13 兩角和與差的正切 公式 1 公式t 與s c 的乙個重要區別，就是前者角 都不能取k k z 而後兩者 r，應用時要特別注意這一點 2 注意公式的變形應用 如 tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan 等 例...