13、兩角和與差的正切
公式：1．公式t(α±β)與s(α±β)、c(α±β)的乙個重要區別，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋(k∈z)，而後兩者α、β∈r，應用時要特別注意這一點．
2．注意公式的變形應用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ),1－tanαtanβ＝，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ),1＋tanαtanβ＝等．
例題 [例1] 1、已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
2、已知α＋β＝，則(1－tanα)(1－tan
[例2] 已知tanα＝2，tanβ＝3且α、β為銳角，則α＋β是
a．45° b．135° c．60° d．120°
[例3]1、已知△abc中，tanb＋tanc＋tanb·tanc＝，且tana＋tanb＝tana·tanb－1，試判斷△abc的形狀．
2、在△abc中，若tanatanb>1，則△abc的形狀是( )
a．銳角三角形 b．鈍角三角形 c．直角三角形 d．不能確定
[例4]1、 已知tanα、tanβ是方程x2＋x－6＝0的兩個根，
求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)·cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
2、求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45
3．在△abc中，已知a＋c＝2b，tanatanc＝2＋，求△abc的三個內角的大小．
練習一、選擇題1．在△abc中，若0a．銳角三角形 b．鈍角三角形 c．直角三角形 d．形狀不能確定
2．給出下列三個等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，
下列函式中不滿足其中任何乙個等式的是( )
a．f(x)＝3x b．f(x)＝sinx c．f(x)＝log2x d．f(x)＝tanx
3．化簡tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等於( )
a．1 b．2 c．tan10° d. tan20°
4．①已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，且－<α<，－ <β<，則α＋β的值為( )
a. b．－ c.或－ d．－或
②已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的兩個根，且－<α<，－ <β<，則α＋β的值是( )
a．－ b．－ c.或－ d．－或
5．設α和β是乙個鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中不正確的是( )
a．tanα·tanβ<1 b．sinα＋sinβ< c．cosα＋cosβ>1 d. tan(α＋β)6.的值為( ) a．2＋ b. c．2－ d.
7．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α－β)＝－，則tanβ的值為( )
a. b. c. d.
8．在△abc中，若tanb＝，則這個三角形是( )
a．銳角三角形b．直角三角形c．等腰三角形d．等腰三角形或直角三角形
9．已知sinα＝，α為第二象限角，且tan(α＋β)＝1，則tanβ的值是( )
a．－7 b．7 c．－ d.
10．若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，則＋＋＝( )
a．－1 b．1 c．－ d.
二、填空題
11．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，則tan(β－2α)的值為________．
12．化簡
13．已知tan＝，tan＝－，則tan
14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.
三、解答題
15．化簡：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．
16．設tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的兩根，求證：tan(α＋β)的最小值是－.
17．是否存在銳角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同時成立？若存在，求出銳角α、β的值；若不存在，說明理由．
答案13、兩角和與差的正切
[例1]1、∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，∴tan2α＝tan
2、[解析] (1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ
＝1－tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1－tan (1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.
[例2] b [分析] 由tanα、tanβ可求tan(α＋β)，由α、β為銳角，可得α＋β範圍，進而可求出角α＋β.
[例3]1、 [解析] 若tanbtanc＝1，∵tanb＋tanc＋tanb·tanc＝，則tanb＋tanc＝0，∴tanb＝－tanc，
∴tan2c＝－1，這不可能．
故tanbtanc≠1.由tanb＋tanc＋tanbtanc＝得，＝，∴tan(b＋c)＝(1)同理tanatanb≠1，故∵tana＋tanb＝tana·tanb－1 ∴＝－ ∴tan(a＋b)＝－(2)
又∵a，b，c為△abc的內角，∴b＋c＝60°，a＋b＝150°.∴a＝120°，b＝c＝30°
.∴△abc為頂角為鈍角的等腰三角形．
2、[解析] 在△abc中，由tana·tanb>1，知tana>0，tanb>0，從而a、b為銳角，又tan(a＋b)＝<0，
即tanc＝－tan(a＋b)>0，∴c為銳角，故△abc為銳角三角形．選a
[例4]1、解析] ∵tanα、tanβ是方程x2＋x－6＝0的兩個根，∴tanα＋tanβ＝－1，tanαtanβ＝－6，
∴tan(α＋β)＝＝－.
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝＝[tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3]＝×＝－.
2、[解析] ∵(1＋tanα)·(1＋tan(45°－α))＝1＋tanα＋tan(45°－α)＋tanα·tan(45°－α)＝1＋tan45°·[1－tanα·tan(45°－α)]＋tanα·tan(45°－α)＝2，
∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝222·2＝223.
3、[解析] 因為a＋b＋c＝180°，而已知a＋c＝2b，
所以b＝60°，a＋c＝120°，tan120°＝tan(a＋c)＝.
已知tanatanc＝2＋，所以tana＋tanc＝3＋.於是tana、tanc是一元二次方程
x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的兩個根，所以或，
所以三角形的三個內角分別為45°，60°，75°.
練習1、[答案] b
[解析] ∵00，∴cosa<0，∴a為鈍角．
[點評] 也可用兩角和的正切公式判斷：由條件知，tanb>0，tanc>0，∴tan(b＋c)＝>0.
∴b＋c為銳角，從而a為鈍角．
2、[答案] b [解析] 對選項a，滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，對選項c，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
對選項d，滿足f(x＋y)＝，故選b.
3、[答案] a [解析] ∵tan(20°＋10°)＝，∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，
∴原式＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan20°·tan10°)＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.
4、①[答案] b [解析] 由韋達定理得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，
∴tanα<0，tanβ<0，∴tan(α＋β)＝＝＝
又－<α<，－ <β<，且tanα<0，tanβ<0 ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
②[答案] a
[解析] 由韋達定理得， tanα與tanβ一正一負，不妨設tanα>0，tanβ<0，
則0<α<，－ <β<0，∴－ <α＋β<，又tan
5、[答案] d
[解析] 取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴ tan(α＋β)>tan，∴d不正確．
6、[答案] c
[解析] sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故選c.
7、[答案] b [解析] ∵α是銳角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan
8、[答案] b [解析] 因為△abc中，a＋b＋c＝π，
所以tanb＝＝＝，
即＝，∴cos(b＋c)＝0，∴cos(π－a)＝0，∴cosa＝0，∵0∴這個三角形為直角三角形，故選b.
9、[答案] b [解析] 由sinα＝，α為第二象限角，得cosα＝－，則tanα＝－.
∴tanβ＝tan7.
10、[答案] b[解析] ∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即
tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，選b.
11、[答案] [解析] tan(β－2α)＝tan
12、[答案] tan42° [解析] 原式＝＝tan(60°－18°)＝tan42°.
13、[答案] [解析] tan＝tan＝＝.
14、[答案] 1[解析] tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
3 1 2兩角和差的正切公式
3.1.3 兩角和與差的正切公式 學習目標 1.掌握兩角和與差的正切公式及其推導方法。2.通過正式的推導，了解它們的內在聯絡，培養邏輯推理能力。3.能正確運用三角公式，進行簡單的三角函式式的化簡 求值和恒等變形。學習重點難點 能根據兩角和與差的正 余弦公式推導出兩角和與差的正切公式 進行簡單的三角函...
4 6兩角和與差的正弦 余弦 正切
教與學過程設計 第一課時兩角和與差的余弦 正弦 正切 一 一 引入 上次我們曾留了個問題，求 對於象750 可以看成300 450 這樣的半特殊角，雖然能通過查表來求其三角函式值，但太麻煩，能不能不查表求值呢？這就牽涉到兩角和的三角函式問題，今天我們就開始學 兩角和與差的余弦 正弦 板書 對於任意角...
兩角和與差的正弦,余弦和正切公式 2
高三導學案學科數學編號編寫人張云飛審核人使用時間班級 小組姓名小組評價 教師評價 課題 兩角和與差的正弦，余弦和正切公式 第 2 課時 學習目標 能運用三角公式進行簡單的恒等變換。重點難點 重點 公式的靈活運用 難點 轉化思想。使用說明及學法指導 獨立完成知識梳理和基礎自測題 限時完成預習案，識記基...