八、正弦函式、余弦函式的性質
1.週期函式的定義
一般地，對於函式y＝f(x)，如果存在乙個的常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時都成立，那麼就把函式y＝f(x)叫做不為零的常數t叫做這個函式的 ．
說明；(1)週期t並不唯一，即若t為函式y＝f(x)的週期，則2t,3t，…，nt，n∈z，都為其週期．
（2)並非所有週期函式都有最小正週期．例如，對於常數函式f(x)＝c(c為常數，x∈r)，所有非零實數t都是它的週期，而最小正數不存在，所以常數函式沒有最小正週期．
2．y＝sinx，y＝cosx都是週期函式，其週期是最小正週期是 .
3．y＝asin(ωx＋φ)(a≠0，ω≠0)的最小正週期為
5．y＝sinx(x∈r)的奇偶性為：奇函式；單調性為：在每乙個區間[2kπ－，2kπ＋]，(k∈z)上都是增函式，在每乙個區間[2kπ＋，2kπ＋]，(k∈z)上都是減函式；圖象的對稱特徵為：
關於每乙個點(kπ，0)(k∈z)成中心對稱，關於每一條直線x＝kπ＋，(k∈z)成軸對稱；當x＝2kπ＋(k∈z)時，y取最大值1，當x＝2kπ－(k∈z)時，y取最小值－1.即|sinx|≤1，
6．y＝cosx(x∈r)的奇偶性為： 函式；單調性為：在每乙個區間上都是增函式，在每乙個區間上都是減函式；圖象的對稱特徵為：
關於每乙個點成中心對稱，關於每一條直線成軸對稱；當x時，y取最大值 ，當x時，y取最小值 .
[例1] 求下列函式的最大值、最小值及相應的x的值：
(1) y＝2sin，x2)y＝－cos3x3)y＝3sin＋1.
[例2]求值域(1) y＝－sin2x＋4sinx＋(2) y＝(3) y＝sinθ＋cosθ＋sinαcosα (4)y＝；
（5） 已知sinx＋siny＝ ，求：(1)siny的取值範圍；(2)u＝sinx－cos2y的最大值和最小值．
3．已知x∈[0，π]，f(x)＝sin(cosx)的最大值為a，最小值為b，g(x)＝cos(sinx)的最大值為c，最小值為d，則( )
a．b4．設a>0，對於函式f(x)＝(0a．有最大值而無最小值 b．有最小值而無最大值
c．既有最大值又有最小值 d．既無最大值又無最小值
例5] 已知函式y＝a－bcosx的最大值是，最小值是－，求函式y＝－4bsinax的最大值、最小值及週期．
6．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區間上的最大值是，則
7、 (1)若滿足cosx－sin2x＝a的實數x存在，則實數a的取值範圍是________．
8．函式y＝sinωx(ω>0)在區間[0,1]上至少出現50個最小值，則ω的最小值是( )
a．98b．98.5π c．99.5d．100π
9．已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在區間上有最小值，無最大值，則
10．已知關於x的方程sin＝k在[0，π]上有兩解，則實數k的取值範圍是________．
11、方程cos＝x在區間(0,100π)內解的個數是( )
a．98 b．100 c．102 d．200
例12] 已知銳角α終邊上一點p(2sin3，－2cos3)，則角α的弧度數是
a．3 b．3－ c．－3d.－3
[例13] 求下列函式的單調區間．
(1)y＝2sin2)y＝cos2x.
14．函式f(x)＝3cos(x＋φ)(0<φ<π)的乙個對稱中心為，則函式f(x)的單調減區間為
15．函式y＝sin在( )
a.上是增函式 b.上是增函式 c．[－π，0]上是增函式 d.上是增函式
16．(2010·重慶文，6)下列函式中，週期為π，且在[，]上為減函式的是( )
a．y＝sin(2x＋) b．y＝cos (2x＋) c．y＝sin(x＋) d．y＝cos(x＋)
17．函式y＝cosx在區間[－π，a]上為增函式，則a的取值範圍是________．
18．(2010·廣東佛山順德區質檢)函式f(x)＝sinx在區間[a，b]上是增函式，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則cos＝( )
a．0b. c．－1d．1
[例19] 設θ是不等邊三角形的最小內角，且cosθ＝，求實數a的取值範圍．
20．設f(x)是定義域為r，最小正週期為的函式，若f(x)＝，則f的值等於( )
a．1b. c．0d．－
21．已知f(x)＝x·sinx，x∈r，則f，f(1)及f的大小關係為( )
a．f>f(1)>f b．f(1)>f>f c．f>f(1)>f d．f>f>f(1)
22．已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函式，當0a．(－3，－)∪(0,1)∪(，3) b．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)
c．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) d．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)
23．（1）已知函式f(x)＝2cos－5的最小正週期不大於2，則正整數k的最小值是________．
（2）函式y＝的週期是( )
a．2b．π cd.
24．若函式f(x)＝2cos的最小正週期為t，且t∈(1,3)，則正整數ω的最大值是________．
25．已知函式f(x)＝sin，其中k≠0，當自變數x在任何兩個整數間(包括整數本身)變化時，至少含有乙個週期，求最小正整數k的值．
26．(2010·泰安市模擬)如果函式y＝2sin(2x＋φ)的圖象關於點中心對稱，那麼|φ|的最小值為 .
27．下列函式中是偶函式的是( )
a．y＝sin2x b．y＝－sinx c．y＝sin|x| d．y＝sinx＋1
28．函式y＝sin(2x＋φ)為偶函式，0≤φ<2π，則φ的值為或 .
29．判斷奇偶性（1）f(x)＝lg(sinx＋) （2）．f(x)＝xsin(π＋x)
（3） f(x4） f(x)＝sin
30．(2010·金華十校)m、n是曲線y＝πsinx與曲線y＝πcosx的兩個不同的交點，則|mn|的最小值為( )
ab.π cd．2π
31．已知函式f(x)＝πsinx，如果存在實數x1，x1，使x∈r時，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恆成立，則|x1－x2|的最小值為( )
a．4b．π c．8d．2π
32．下列函式中，圖象關於直線x＝對稱的是( )
a．y＝sin b．y＝sin c．y＝sin d．y＝sin
33．函式y＝sin圖象的一條對稱軸的方程是( )
a．x＝－ b．x＝－ c．xd．x＝
34．（1）、(2010·衡水市高考模擬)設a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，則它們的大小關係為( )
a．a34、若y＝cos (0<φ<π)的一條對稱軸方程為x＝，則函式y＝sin(2x－φ)(0≤x<π)的單調增區間為________．
35、已知α、β∈，且cosα>sinβ，比較α＋β與的大小結果為________．
36．(2010·北京西城區抽檢)設0<|α|<，則下列不等式中一定成立的是( )
a．sin2α>sinα b．cos2αtanα d．cot2α. 37．比較下列各組數的大小．
(1)sin194°與cos160°； (2)cos，sin，－cos； (3)sin與sin.
38．(2010·深圳市調研)已知函式f(x)＝，則f[f(2010
[例39]（1） 若函式f(n)＝sin (n∈z)， 則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102
（2）設0≤x< 2π ，則滿足cos (πcos x)=0的角x的取值集合________
（3） 函式f(x)＝，若f(1)＋f(α)＝2，則α的所有可能值的集合為________．
40．已知函式f(x)＝2asin＋b的定義域為，函式最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．
41．已知函式f(x)＝log|sinx|.
(1)求其定義域和值域； (2)判斷其奇偶性；
(3)求其週期； (4)寫出單調區間．
[例42] 一機械振動中，某質點離開平衡位置的位移x(cm)與時間t(s)之間的函式關係如圖所示：
(1)求該函式的週期；(2)求t＝37.5s時，該質點離開平衡位置的位移．
[例43] 遊樂場中的摩天輪勻速旋轉，其中心o距地面40.5m，半徑40m.若從最低點處登上摩天輪，那麼你與地面的距離將隨時間變化，5min後到達最高點．在你登上摩天輪時開始計時，請解答下列問題．
(1)求出你到地面的距離y與時間t的函式解析式．(2)當你登上摩天輪10min後，你與地面的距離是多少？
(3)當你第1次距地面30.5m時，用了多少時間？(4)當你第4次距地面30.5m時，用了多少時間？
44．已知函式f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是r上的偶函式，其圖象關於點m對稱，且在區間上是單調函式，求ω和φ的值．
答案 [例1]
(1)∵x∈，∴x＋∈，∵y＝sint在上單調遞減，∴sin∈.
∴函式y＝2sin，x∈的值域為 ymax＝2，ymin＝1.
正余弦函式的影象與性質
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