例題1.值域最值:
三角函式最值問題的解題技巧
三角函式的最值問題,是三角函式基礎知識的綜合應用,它與二次函式、三角函式的單調性、三角函式的影象等知識聯絡在一起,該問題綜合性強,解題方法也多樣化.解這類問題是運算能力、分析問題和解決問題能力的綜合體現,有一定的難度,要注意靈活選用方法.下面介紹解三角函式最值問題的常見方法.
1、形如型的函式的最值
例題:1)求函式的最值及取得最值時自變數的集合
2)函式的值域是____
練習:1)求函式的最值,並求出相應自變數的取值範圍
2)已知函式,若,求函式的最值以及相應自變數的值.
2、形如型的函式的最值.
例題: 1)求函式的最值
2)已知，,設函式＝·.若,求的最大值、最小值並求出對應的值
3) 當a.最大值為1,最小值為-1
b.最大值為1,最小值為 c.最大值為2,最小值為 d.最大值為2,最小值為
4)已知函式,若不等式在上恆成立.求的取值範圍.
2、形如型的函式的最值.
這類問題最後化為二次函式的三角最值問題,利用三角函式的有界性,並結合二次函式的性質求得結論.閉區間上的二次函式一定存在最大值、最小值,並且最大值、最小值又一定在極值點或區間端點處獲得.
例題:求函式,的最值.
練習:1)函式的最值
2)求函式在區間上的最小值.
3)求函式的最值.
4）已知函式。求的最大值和最小值。
3、含有的函式的最值問題.
通常方法是換元法:令,將轉化為的關係式,從而使問題轉化為二次函式的最值問題.但要注意換元後變數的取值範圍.
例題:求函式的最大值.
練習:函式的值域為
由以上幾種形式,可以歸納出解三角函式最值問題的基本方法:一是應用正弦、余弦函式的有界性來求；二是利用二次函式閉區間內求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用數形結合的方法來解決.
4、形如或(了解內容)
例題:求函式的最值
練習:1)求函式的最值2)求函式的最值
說明: 此類問題還可以利用函式表示式的特點,應用數形結合思想使求函式最值的問題轉化為求過某個定點與動點的直線斜率的最值問題.
例題2.週期性
練習:（1)函式的影象相鄰兩條對稱軸之間的距離等於,求的值.
（2)直線與函式的影象相鄰兩交點之間的距離等於,求的值和週期.
（3)已知函式,若對任意都有成立,且的最小值為,求的值
（4）設函式，將的影象向右平移個單位長度後，所得的影象與原影象重合，則的最小值等於
(ab)3c)6d)9
【答案】：c
【命題意圖】：本小題主要考查三角函式及三角函式影象的平移變換、週期等有關知識。
【解析】：由題意知為函式週期的正整數倍，所以，故的最小值等於6.
例題3.單調性
例題:1、求函式的單調增區間（或在區間上的單增區間).
2、、、均為銳角,若, , ,則、、的大小順序是（ )a. b. c. d.
練習:（1)求函式的單調增區間.
（2)比較,的大小
例題4. 對稱性
1)函式的圖象的一條對稱軸的方程是______
a b c d
2)設函式的一條對稱軸是直線.求得值；
練習:1)下列函式中,最小正週期為,且圖象關於直線對稱的是（ ).
a. b. c. d.
3)以下命題中,正確命題的序號是
①函式不是週期函式 ②函式在定義域內是增函式
③函式是偶函式 ④函式的影象關於成軸對稱
函式的影象
一、影象變換的基本知識點
(1)平移變換:
①左右平移:函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到.
②上下平移:函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到.
(2)對稱變換:
①函式的影象與函式的影象關於y軸對稱.
②函式的影象與函式的影象關於x軸對稱.
(3)翻摺變換:
①函式的影象可以將函式影象的x軸下方部分沿軸翻折到x軸上方,去掉原軸下方部分,並保留的x軸上方部分即可得到.
②函式的影象可以將函式影象的軸右邊部分沿軸翻折到y軸左邊,替代原軸左邊部分,並保留在y軸右邊部分即可得到.
(4)伸縮變換:
①函式的影象可以將函式的影象中的每一點橫座標不變,縱座標伸長或縮短()為原來的a倍得到.
②函式的影象可以將函式的影象中的每一點縱座標不變,橫座標伸長或縮短()為原來的倍得到.
一、畫圖
例題.用五點作圖法畫出下列函式在長度為乙個週期的閉區間上的大致影象（簡圖)
（詳見課本53頁例1）
例題：把函式的圖象上所有點的橫座標都縮小到原來的一半，縱座標保持不變，再把圖象向左平移個單位，這時對應於這個圖象的解析式為
a. b. c. d.
練習:（1)若函式的影象向左平移個單位所對應的函式為偶函式,求最小正實數的值.
（2)為了得到函式的影象,可以將函式的影象（ )
a 向右平移 b 向右平移 c 向左平移 d向左平移
二、識圖: 知圖索式與知式索圖
例: 函式, ,的部分圖象如圖所示,則
a. b. c. d.
練習:1) 已知函式的圖象（部分)如上右圖所示.（1)求的解析式；（2)若,求函式的值域.
2)已知是實數,則函式的圖象不可能是 ( )
3)已知函式（）,的部分影象如下左圖,則
a. b. c. d.
4) 的部分圖象如上右圖所示,則函式表示式為
a. b.
c. d.
三、用圖
例題：已知函式，設，且方程有兩個不同的實數根，求實數的取值範圍和這兩個根的和．
練習：1)定義運算,則函式的最小值是（ )
a.；b. ；c.；d.
2)方程的根有個.（、)
3)方程在上有兩個解,求實數的取值範圍.
4）求函式的週期
三角函式影象和性質習題
例題1:已知函式
（i)求函式的最小正週期和單調增區間；
（ii)函式的圖象可以由函式的圖象經過怎樣的變換得到？
例題2：已知函式,（1)當取最大值時,求自變數的集合；
（2)若，求該函式的值域。
例題3:已知函式,.
（i)設是函式圖象的一條對稱軸,求的值.
（ii)求函式的單調遞增區間.
例題4：課本147頁9、10、11、12
余弦函式的影象與性質
一 教學目標 1 知識與技能 1 能畫出余弦函式在 0，2 的影象 2 熟練根據余弦函式的影象推導出余弦函式的性質 3 掌握利用數形結合思想分析問題 解決問題的技能。2 過程與方法 能學以致用，嘗試用五點作圖法作出余弦函式的影象，並能結合影象分析得到余弦函式的性質 且能簡單的應用余弦函式的性質。3 ...
正 余弦性質
八 正弦函式 余弦函式的性質 1.週期函式的定義 一般地，對於函式y f x 如果存在乙個的常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時都成立，那麼就把函式y f x 叫做不為零的常數t叫做這個函式的 說明 1 週期t並不唯一，即若t為函式y f x 的週期，則2t,3t，nt，n z，都為其週期 2 並...
正切函式的影象與性質講課教案正稿
4.10正切函式的影象和性質 教學目標 一 知識目標 掌握正切函式的性質，認識並會畫正切函式的的簡圖.二 能力目標 讓學生親身經歷數學研究的過程，學會應用模擬推理 與數形結合的思想處理問題.三 情感目標 通過學生自主 小組合作交流的過程體檢探索的樂 趣，增強團隊意識，增強學習數學的興趣.教學重點難點...