1.4.1 正弦函式、余弦函式的圖象
教材分析
三角函式是基本初等函式之一，是描述週期現象的重要數學模型，是函式大家庭的一員。除了基本初等函式的共性外，三角函式也有其個性的特徵，如影象、週期性、單調性等，所以本節內容有著承上啟下的作用；另外，學習完三角函式的定義之後，必然要研究其性質，而研究函式的性質最常用、最形象直觀的方法就是作出其影象，再通過影象研究其性質。
由於正弦線、余弦線已經從「形」的角度描述了三角函式,因此利用單位圓中的三角函式線畫正弦函式圖象是乙個自然的想法.當然,我們還可以通過三角函式的定義、三角函式值之間的內在聯絡性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點,得到「五點法」畫正弦函式、余弦函式的簡圖.
教學目標
1.通過簡諧振動實驗演示,讓學生對函式影象有一些直觀的感知,形成正弦曲線的初步認識,進而探索正弦曲線準確的作法,養成善於發現、善於**的良好習慣.學會遇到新問題時善於調動所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯絡,提高分析問題、解決問題的能力.
2.通過本節學習,理解正弦函式、余弦函式圖象的畫法.借助圖象變換,了解函式之間的內在聯絡.
通過三角函式圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,體會用「五點法」作圖給我們學習帶來的好處,並會熟練地畫出一些較簡單的函式圖象.
3.通過本節的學習,讓學生體會數學中的圖形美,體驗善於動手操作、合作**的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數形結合思想的認識,理解動與靜的辯證關係,樹立科學的辯證唯物主義觀.
重點難點
教學重點:正弦函式、余弦函式的圖象.
教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函式圖象上的點;正弦函式與余弦函式圖象間的關係.
教學用具：多**教學、幾何畫板軟體、ppt控制項
教學過程
匯入新課
1.(複習匯入)首先複習相關準備知識：三角函式、三角函式線。
遇到乙個新的函式,非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什麼特殊點,並借助圖象研究它的性質,如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?
回憶我們是如何畫出它們圖象的(列表描點法:列表、描點、連線)?
2.(物理實驗匯入)****「簡諧運動」實驗.得到一條曲線,它就是簡諧運動的圖象.
物理中把簡諧運動的圖象叫做「正弦曲線」或「余弦曲線」.有了上述實驗,你對正弦函式、余弦函式的圖象是否有了乙個直觀的印象?畫函式的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法,但不夠精確.
下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函式圖象.
推進新課
新知**
提出問題
問題①:作正弦函式圖象的各點的縱座標都是查三角函式表得到的數值,由於對一般角的三角函式值都是近似值,不易描出對應點的精確位置.我們如何得到任意角的三角函式值並用線段長(或用有向線段數值)表示x角的三角函式值?
怎樣得到函式圖象上點的兩個座標的準確資料呢?簡單地說,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?
問題②:如何得到y=sinx,x∈r時的圖象?
對問題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開並12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由於單位圓周長是2π,這樣就解決了橫座標問題.過⊙o1上的各分點作x軸的垂線,就可以得到對應於0、、、、、…、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱座標問題(相當於「列表」).
第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函式對(x,y)(相當於「描點」).第三步,再把這些正弦線的終點用平滑曲線連線起來,我們就得到函式y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(相當於「連線」).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.
然後讓學生動手作圖,形成對正弦函式圖象的感知).這是本節的難點,教師要和學生共同**.
圖1 對問題②,因為終邊相同的角有相同的三角函式值,所以函式y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈z且k≠0上的圖象與函式y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.於是我們只要將函式y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到正弦函式y=sinx,x∈r的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程,感知週期性)
圖2操作結果、總結提煉:①利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的圖象.
②左、右平移,每次2π個長度單位即可.
提出問題
如何畫出余弦函式y=cosx,x∈r的圖象?你能從正弦函式與余弦函式的關係出發,利用正弦函式圖象得到余弦函式圖象嗎?
意圖:如果再用余弦線作余弦函式的圖象那太麻煩了,根據已學的知識,教師引導學生觀察誘導公式,思考**兩個函式之間的關係,通過怎樣的座標變換可得到余弦函式圖象?讓學生從函式解析式之間的關係思考,進而學習通過圖象變換畫余弦函式圖象的方法.
讓學生動手做一做,體會正弦函式圖象與余弦函式圖象的異同,感知兩個函式的整體形狀,為下一步學習正弦函式、余弦函式的性質打下基礎.
討論結果:
把正弦函式y=sinx,x∈r的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函式圖象.如圖3.
圖3正弦函式y=sinx,x∈r的圖象和余弦函式y=cosx,x∈r的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.
提出問題
問題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函式圖象的方法.你認為哪些點是關鍵性的點?
問題②:你能確定余弦函式圖象的關鍵點,並作出它在［0,2π］上的圖象嗎?
活動:對問題①,教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函式的圖象,發現在［0,2π］上有五個點起關鍵作用,只要描出這五個點後,函式y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個關鍵點,然後用光滑的曲線將它們連線起來,就可快速得到函式的簡圖.這種近似的「五點(畫圖)法」是非常實用的,要求熟練掌握.
對問題②,引導學生通過模擬,很容易確定在［0,2π］上起關鍵作用的五個點,並指導學生通過描這五個點作出在［0,2π］上的圖象.
討論結果:①略.
②關鍵點也有五個,它們是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
學生練習鞏固：1。用五點法作出函式y=sinx在［0,2π］上的圖象；2. 用五點法作出函式y=cosx在［0,2π］上的圖象
應用示例
例1 畫出下列函式的簡圖
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].
解:(1)按五個關鍵點列表:
描點並將它們用光滑的曲線連線起來(圖4).
圖4(2)按五個關鍵點列表:
描點並將它們用光滑的曲線連線起來(圖5).
圖5課堂小結
以提問的方式,先由學生反思學習內容並回答,教師再作補充完善.
1.怎樣利用「周而復始」的特點,把區間［0,2π］上的圖象擴充套件到整個定義域的?
2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?
這節課學習了正弦函式、余弦函式圖象的畫法.除了它們共同的代數描點法、幾何描點法之外,余弦函式圖象還可由平移交換法得到.「五點法」作圖是比較方便、實用的方法,應熟練掌握.
數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.
作業1. 活頁練習課時作業六
2課本p34 練習1.2
3.課後請同學們利用三角函式線（把單位圓8等分）來作出正弦函式圖象？（思考為什麼要進行8等分）
教學反思：
這節課從整體上看，比較圓滿完成了既定的教學目標：正弦函式、余弦函式的影象，以及掌握五點法，利用五點法作出函式的影象，注意函式之間的內在聯絡。學生掌握了三角函式的定義之後，自然而然就會去研究函式的性質，而研究函式的性質一般從函式的影象入手，本節課學生的動手操作要求較高，需要學生在練習本上畫圖；這節課從教學過程看，邏輯行強，過渡比較自然，幻燈片製作精美，特別是幾何畫板的控制項，讓學生能夠直**到影象的變化趨勢，還有電子白板的靈活運用，可以使用新建螢幕頁，讓學生看到我們老師如何操作，給學生示範。
當然，在教學中也存在一些問題：前面複習回顧的內容用時過多，導致後面的時間有些緊，例題可以講乙個詳細的，後面讓學生完成；正弦函式的影象分析透徹之後，對於余弦函式可以略講。
數學1 4 1正弦函式和余弦函式的影象教案
1.4.1正弦函式 余弦函式的影象 班級 高一 3 地點 高一 3 班教室授課老師 吳鈺明 一 教學內容分析 本章節內容是在學生學習了三角比及有關三角恒等變形公式後，從函式的角度和層面來研究相關三角問題。對於函式的研究，學生已經具備了一定的知識基礎和對簡單的具體函式的研究經驗，結合三角函式的特殊性，...
《正弦函式與余弦函式的影象》的課後反思
課後反思 一 設計說明 1.本節課操作性強,學生活動量較大.新課從實驗演示入手,形成圖象的感知後,公升級問題,探索正弦曲線準確的作法,形成理性認識.問題設定層層深入,引導學生發現問題,解決問題,並對方法進行歸納總結,體現了新課標 以學生為主體,教師為主導 的課堂教學理念.用多 課件,則可生動地表現出...
正弦函式 余弦函式的單調性
實驗中學高一數學組廖紅衛 2007年11月29日 教學目標 1 掌握正弦函式 余弦函式的單調性 2 會求三角函式的單調區間 3 體會數形結合思想及整體換元思想。教學重點 求三角函式的單調區間 教學難點 整體換元思想的滲透 教學過程 一 複習回顧 正弦函式 余弦函式的定義域 值域 週期性 奇偶性二 探...