6.2 正切函式的影象與性質（1）
上海市南洋中學盧久紅
一、教學內容分析
本節內容是學生在學習了正弦、余弦函式影象和基本性質以後的知識，學生已經掌握了三角函式線的畫法，並且對三角函式性質的討論方法已經有了乙個比較清晰的認識.因此通過正切函式的影象來認識函式的性質，並通過例題來鞏固對性質的掌握是學習「正切函式的影象與性質」的一條主線.
二、教學目標設計
1.理解利用正切線作出的正切函式影象.
2.通過觀察正切函式影象了解與感悟正切函式的性質.
3.通過練習與訓練體驗並初步掌握正切函式的基本性質.
三、教學重點及難點
利用正切線作正切函式的影象；正切函式單調性的證明以及週期性的確定.
四、教學用具準備
多**裝置
五、教學流程設計
六、教學過程設計
一、 複習引入
1．複習
我們在前幾節中學習了正弦函式線、余弦函式線以及正切函式線，我們通過正弦函式線，畫出了正弦函式的影象，並研究了函式的性質.今天，我們同樣按照這樣的方法通過正切線來畫出正切函式的影象，並研究和討論它的性質.
2．引入
y 當α在第一像限時，
正弦線sinα=bm>0
t余弦線cosα=om>0
m正切線tanα=at>0
那麼，當α在其它三個像限
的情況呢？請同學們畫ab
x出其它三個像限的正切線.
o我們將區間進行
八等分，9個點分別為
分別畫出其中
的正切線，
然後利用描點法畫出正切函式的大致影象.
y=tanα α∈
由正切三角比的誘導公式可知：
那麼y=，可知為y=tanx的乙個週期.
由此，我們可以畫出y=tanx在r上的大致影象如下：
二、學習新課
1. **性質
觀察正切函式的影象，引導學生得正切函式的性質：
1.定義域：，
2.值域：r
觀察：當從小於，時，
當從大於，時，.
3.週期性：
4.奇偶性：奇函式.
5.單調性：在開區間內，函式單調遞增.
從影象上看出函式y=tanx的單調區間是，但是我們怎樣從理論上去加以證明呢？
考察這個區間內的函式y=tanx的單調性.
在這個區間內任意取，且，y1-y2=tanx1-tanx2
==.因為，所以則cosx1、cosx2>0
sin()<0,從而tanx1-tanx2<0，y1除了上述證明方法以外，請同學們思考:對於正切函式y=tanx，你還有什麼方法能夠證明它在開區間內單調遞增嗎？
證法2：在這個區間內任意取，且,
tanx1-tanx2= 因為tan(x1-x2)<0，
tanx1≥0，tanx2>0.因此1+tanx1·tanx2>0.
則tanx1-tanx2<0, tanx1[說明]
在考慮正切函式單調性的時候，一定要講在每乙個單調區間上是增函式，而不能講它在定義域上是增函式，為什麼？請同學們思考並說明之.
2．例題分析
例1.（1）比較tan1670與tan1730的大小;
（2）比較與的大小.
解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx在900～1800上單調增函式，
∴tan1670(2) ，，
又：內單調遞增，
例2. 討論函式的性質.
略解：定義域：;
值域： r ; 它是非奇非偶函式;
在上是增函式;
令f(x)=tan(x+)=tan(x++)=tan[(x+)+]=f(x+)
因此，函式f(x)的週期是.
3．問題拓展
例3.求下列函式的單調區間：
解： 數，
遞增區間為
；單調遞增區間是：
變式問題1：求函式的單調區間：
解：因為原函式可以化為：
單調遞增區間為：
單調遞減區間為
[說明]
在考慮正切函式與其他函式復合的問題時，需要分別注意這兩個函式的單調性，然後根據復合函式的規則：增增得增，增減得減，確定單調區間.
例4. 求下列函式的週期：
解： 變式問題2：求解
解： [思考]由上面的例4及其變式，請你歸納一下函式y=atan(ωx+ф)的週期是什麼？（）
三、鞏固練習
1. 求函式y=tan的定義域、值域，並指出它的奇偶性、單調
性以及週期.
解：令u=3x-,則y=tanu，由u≠可得：
，即函式的定義域是
y=tanu的值域為r，因此y=tan的值域為r .
存在x=和x=-,使tan(3·-)≠±tan[3·(-)-],
所以，y=tan是非奇非偶函式.
由可以得到
∴y=tan在上是增函式.
令f(x)=y= tan=tan=tan[3(x+)-]=f(x+)
∵f(x)=f(x+)，∴函式f(x)=y= tan的週期是.
四、課堂小結
小結和歸納這節課所學習的內容：
正切函式y=tanx的性質：
定義域：
值域：全體實數r
週期性：正切函式是週期函式，
最小正週期t=
奇偶性：奇函式
單調性：正切函式在開區間內都是增函式.
我們在求解有關正切函式與其它函式（如一次函式）復合的函式的增減性的時候，一定要將構成此復合函式的每乙個函式的單調性都搞清楚，然後根據增增得增、增減得減的原則來確定該函式的單調區間.
我們在求解函式週期性的時候，一定要借助y=tanx的週期是的結論，然後再利用週期函式定義f(x)=f(x+t)，求出函式的週期.
五、作業布置
(略)七、教學設計說明
本節課是學生在已經掌握了三角函式線的前提下；在學生學習了正弦函式、余弦函式的影象與性質的基礎上，進一步分析和**正切函式的影象和性質.因為對於函式的研究方法學生已經基本掌握.因此，在實際學習的過程中，學生對通過函式影象研究函式性質的研究步驟和手段不會感到很陌生.
考慮到本節課為正切函式影象與性質的第一節課，所以選取的例題大多比較基礎，重點在於讓學生通過影象來理解性質，然後通過例題，初步掌握基本性質.
本節課在教學技術上通過多**課件讓學生直觀地理解正切函式影象的畫法，通過學生自己的思考以及動態的演示，讓學生歸納和感悟正切函式的性質.
在例題的設計上從最基本的利用單調性比較大小出發，到函式性質的簡單應用，再到單調性和週期性的變式訓練，由淺入深，層層遞進，以積極發揮課堂教學的基礎型和研究型功能，培養學生的基礎性學力和發展性學力.
在課堂教學中教師遵循「以學生為主體」的思想，鼓勵學生善於觀察和發現；鼓勵學生積極思考和**；鼓勵學生大膽猜想，努力營造乙個民主和諧、平等交流的課堂氛圍，採取對話式教學，調動學生學習的積極性，激發學生學習的熱情，使學生開闊思維空間，讓學生積極參與教學活動，提高學生的數學思維能力.
正切函式的影象和性質
學習目標 1.理解並掌握作正切函式影象 3.掌握正切影象性質並應用性質解題。一 複習引入 1 正切線的畫法。2 3 有意義，則滿足什麼條件？二 正切函式的圖象 三 自學 1 根據的圖象總結正切函式的性質 1 定義域 2 值域 3 奇偶性 4 週期性 5 對稱性 6 單調性 2 函式的最小正週期為 三...
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1 4 3正切函式的性質與影象學案
1.4.3正切函式的影象和性質 學習目標 1.掌握正切函式的性質和影象特徵.2.注意數性結合思想的運用.重點 1.正切函式的性質與影象及其應用.2.及正切函式的性質與影象和應用.難點 將單位圓中的正切線通過平移轉化為正切函式影象上的點及正切函式的性質與影象的應用.預習案學習過程 一 複習回顧 我們研...