1.4.3 正切函式的圖象與性質
景泰二中數學組胡鈺敏
一、教學目標
知識與技能：
理解正切函式的定義及正切函式的影象特徵，研究並掌握正切函式的基本性質．
過程與方法：
在**正切函式基本性質和影象的過程中，滲透數形結合的思想，培養學生作圖能力，運用函式圖象分析、**問題的能力．
情感態度與價值觀：
在解決問題的過程中，體驗克服困難取得成功的喜悅．
二、教學重難點
重點：正切函式的基本性質與圖象．
難點: 利用正切線研究正切函式的單調性.
三、教學過程
新課匯入
1、正切函式的定義
在前幾節課，我們學習了正余弦函式的圖象和性質，有同學，模擬正弦函式、余弦函式的定義，定義了如下乙個正切函式：
對於任意乙個實數，都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函式，表示為，叫做正切函式．
大家看這個定義合理嗎？
強調：．
今天我們就來研究正切函式（）的圖象與性質．
2、作函式影象的常用的方法有哪些？
（1）描點法是作函式影象最基本的方法；
（2）利用基本初等函式影象的變換作圖．
大家認為應該選擇哪種方法來畫正切函式的圖象呢？
學生的回答會選擇（1）．
教師引導：描點，描哪些點，我們還是要結合函式的性質，描一些關鍵點、特殊點．
所以，我們首先來研究正切函式的基本性質．
新知**
1、正切函式的性質
1) 定義域：
2) 週期性
**1：正切函式是週期函式嗎？怎麼說明?
學生進行小組討論，第一組同學回答.
學生會利用誘導公式，得到正切函式是週期函式，且週期是．
但是不是它的最小正週期呢？我們把這個問題保留到後面進行說明．（觀察函式圖象，可以看出是最小正週期）
3) 奇偶性
**2：正切函式在定義域內的奇偶性如何判斷？
學生進行小組討論，第二組同學回答.
學生會利用迅速做出判斷．
強調：定義域是，關於原點對稱.
4) 單調性
**3：正切函式的單調性如何呢？有沒有增區間或者減區間？怎麼說明？
學生進行小組討論，第三組同學回答.
單位圓中的正切線，是角x與正切值關係的直觀體現，因此，我們可以利用正切線，在乙個週期內研究它的單調性，再由週期性拓展到整個定義域。
下面我們首先複習一下正切線在每個象限的畫法。提問個別學生作答。
學生可能回答：當x在這個週期上增大時，正切線at也增大，正切值增大，因此，y=tanx 在上的是單調遞增的，根據正切函式的週期性，y=tanx 在上都是單調遞增的.
5）值域
在前面正切線的分析中，知道在每乙個單調區間上函式都是一直遞增的，沒有最大值也沒有最小值，因此值域是r.
2、正切函式的圖象
1)利用正切線作正切函式的圖象
我們通過誘導公式和正切線對正切函式的性質進行了研究，下面，我們結合這些性質，來作出正切函式的圖象。
（1）根據正切函式的週期性，我們可以先畫出乙個合適的、長度為的區間上的影象，然後再左右平移的正整數倍就可以得到在整個定義域上的圖象了。那麼，選擇哪乙個區間呢？
選擇區間。因為這個區間，裡面有我們熟悉的銳角，而且區間關於原點對稱，並且正切線不用延長角的終邊就可以直接得到，畫起來方便一些。
（2）模擬正弦函式圖象的畫法，把單位圓的右半圓分成8等份。借助於正切線，描點，然後用光滑的曲線順次連線，得到函式在上的影象．
（3）根據正切函式的週期性，把上述影象向左、右不斷平移的正整數倍，就得到了正切函式在整個定義域上的圖象了.我們把它叫做正切曲線. （幾何畫板演示上述作圖過程）
2)正切曲線的特徵
認真觀察正切曲線，你能發現有哪些特徵，這些特徵又反映出我們研究過的哪些性質？
各小組搶答
1、正切曲線是被相互平行的直線x=k+,k∈z所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的．（形狀完全相同也反映出正切函式的最小正週期是）
2、當x越來越靠近這些直線x=k+,k∈z時，影象上的點也向上向下越來越靠近這些直線，無限接近但永不相交，我們把這些平行直線稱為正切曲線的漸近線。（永不相交反映了正切函式的定義域為且值域是r）
3、正切曲線在每個分支裡都是上公升的。（反映出正切函式在開區間內是單調遞增的）
4、正切曲線關於原點對稱。（反映出正切函式是奇函式）
3)正切曲線「三點兩線法」作圖
正余弦曲線在畫圖中有個簡畫的方法叫做「五點法」，類似的，正切曲線也有個簡畫的方法叫做「三點兩線法」.
思考：畫的簡圖，應該描哪三個點和哪兩條直線來確定圖象？
「三點」指： 「兩線」指：.在三點、兩線確定的情況下，可大致畫出正切函式在上的簡圖，然後向左向右擴充套件就可得到正切曲線。
請同學們在導學案上畫出正切函式的簡圖。第四組同學上黑板板書作圖。
鞏固檢測各組搶答加分
1、 判斷正誤並說明理由
1） 在定義域上是單調增函式.
錯。舉反例：.這與單調性的定義矛盾。
2） 在乙個週期內是增函式 .
錯。舉反例：區間也是乙個週期，但函式不是遞增的。
2、 求函式的定義域.
換元法3、求函式的週期.
法1：公式法法2：定義法
4、 利用正切函式的單調性比較下列各組中兩個正切值的大小。
（1） （2）
四、課堂總結
提問個別學生回答
1、數學知識：正切函式的定義與影象、定義域、值域和週期性、奇偶性、單調性。
2、數學思想方法：數形結合。
五、作業布置
必做：當堂檢測中2、3，課後練習與提高中的4
選做：課後練習與提高中的3、5
正切函式的影象和性質
學習目標 1.理解並掌握作正切函式影象 3.掌握正切影象性質並應用性質解題。一 複習引入 1 正切線的畫法。2 3 有意義，則滿足什麼條件？二 正切函式的圖象 三 自學 1 根據的圖象總結正切函式的性質 1 定義域 2 值域 3 奇偶性 4 週期性 5 對稱性 6 單調性 2 函式的最小正週期為 三...
正切函式的影象和性質
基礎知識精講 1.正切函式的影象 1 根據tan x tanx 其中x k k z 推出正切函式的週期為 2 根據tanx 要使tanx有意義，必須cosx 0,從而正切函式的定義域為 3 根據正切函式的定義域和週期，我們取x 利用單位圓中的正切線，通過平移，作出y tanx,x 的影象，而後向左 ...
必修4正切函式影象和性質
必修4 1.3.2 正切函式的影象與性質 教學設計 北京師範大學附屬實驗中學黎棟材 指導思想與理論依據 貝塔朗菲強調，任何系統都是乙個有機的整體，它不是各個部分的機械組合或簡單相加，而是系統的整體觀念。數學知識更是乙個有機整體，在平時的教學中，我習慣從系統的觀點對所教內容進行整合，以優化其結構及知識...