【基礎知識精講】
1.正切函式的影象
(1)根據tan(x+π)===tanx
(其中x≠kπ+,k∈z)推出正切函式的週期為π.
(2)根據tanx=,要使tanx有意義，必須cosx≠0,
從而正切函式的定義域為
(3)根據正切函式的定義域和週期，我們取x∈(-,).利用單位圓中的正切線，通過平移，作出y=tanx,x∈(-,)的影象，而後向左、向右擴充套件，得y=tanx,x≠kπ+(k∈z)的影象，我們稱之為正切曲線，如圖所示.
y=tanx
2.餘切函式的影象如下：
y=cotx
3.正切函式、餘切函式的性質：
注：正切函式在每乙個開區間(kπ-,kπ+)(k∈z)內是增函式，但不能說成在整個定義域內是增函式，類似地，餘切函式也是如此.
【重點難點解析】
本節重點是正切函式影象的畫法及性質的運用.正切函式的影象一般用單位圓中的正切線作.因y=tanx定義域是，所以它的影象被平行線x=kπ+(k∈z)隔開而在相鄰兩平行線之間的影象是連續變化的.
1.正切函式應注意以下幾點：
(1)正切函式y=tanx的定義域是,而不是r，這點要特別注意：(2)正切函式的影象是間斷的，不是連續的，但在區間(kπ-,kπ+)（k∈z）上是連續的；(3)在每乙個區間(kπ-,kπ+)（k∈z）上都是增函式，但不能說正切函式是增函式.
2.解正切不等式一般有以下兩種方法：
影象法和三角函式線法.影象法即先畫出正切函式的影象，找到符合條件的邊界角，再寫出所有符合條件的角的集合.三角函式線法則先在單位圓中作出角的邊界值時的正切線，得到邊界角的終邊，在單位圓中劃出符合條件的區域(這裡特別要注意函式的定義域)，再用不等式正確表示區域.
例1作出函式y=｜tanx｜的影象，並根據影象求其單調區間.
分析：要作出函式y=｜tanx｜的影象，可先作出y=tanx的影象，然後將它在x軸上方的影象保留，而將其在x軸下方的影象向上翻(即作出關於x軸對稱影象)，就可得到y=｜tanx｜的影象.
所以其影象如圖所示，單調增區間為［kπ,kπ+(k∈z);單調減區間為kπ-,kπ］(k∈z).
說明：根據影象我們還可以發現：函式y=｜tanx｜的最小正週期為π.一般地，y=a｜tan(ωx+φ)｜的最小正週期與y=atan(ωx+φ)的最小正週期相同，均為.
例2求函式y=lg(tanx-)+的定義域.
解：欲使函式有意義，必須
由此不等式組作圖
∴函式的定義域為(kπ+,kπ+).
評析：解正切不等式一般有兩種方法：影象法和三角函式線法.
影象法即先畫出函式影象，找出符合條件的邊界角，再寫出符合條件的角的集合.三角函式線法則是先在單位圓中作出角的邊界值時的正切線，得到邊界角的終邊，在單位圓中畫出符合條件的區域.要特別注意函式的定義域.
例3求函式y=tan(2x-)的單調區間.
解：y=tanx,x∈(-+kπ,+kπ)(k∈z)是增函式.
∴-+kπ＜2x-＜+kπ,(k∈z).
即-+＜x＜+，(k∈z)
函式y=tan(2x-)的單調遞增區間是(-+,+).(k∈z)
例4求函式f(x)=tan(2x+)的週期.
解：因為tan(2x++π)=tan(2x+)
即tan［2(x+)+］=tan(2x+)
∴tan(2x+)的週期是.
例5求函式y=3tan(2x+)的對稱中心的座標.
分析：y=tanx是奇函式，它的對稱中心有無窮多個，即(,0)(k∈z).函式y=atan(ωx+φ)的影象可由y=tanx經過變換影象而得到，它也有無窮多個對稱中心，這些對稱中心恰好為影象與x軸交點.
解：由2x+=,(k∈z)得
x=-(k∈z)
∴對稱中心座標為(-,0)(k∈z)
注意：函式y=atan(ωx+φ)(a＞0,ω＞0)的影象及性質可與函式y=asin(ωx+φ)(a＞0,ω＞0)的影象及性質加以比較研究.
【難題巧解點拔】
例判斷函式f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性，並求此函式的週期及單調區間.
分析：奇偶性的判斷必須考慮①定義域是否關於原點對稱.②是否對任意x有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立；關於週期和單調性必須將函式化為乙個三角函式的形式方可求.
解：此函式的定義域為它是關於原點對稱.
又f(-x) =tan(-x+)+tan(-x-)
=-tan(x-)-tan(x+)=-f(x)
故此函式是奇函式.
y=tan(x-)+tan(x+)
=tan［(x-)+(x+)］［(1-tan(x-)tan(x+)
∵sin(-a)=cosa
cos(-a)=sina
∴tan(-a)=cota
cot(-a)=tana
故tan［-(x+)］=cot(x+)
即-tan(x-)=cot(x+)
∴y=tan2x［1+cot(x+)tan(x+)］=2tan2x
故此函式週期為
當kπ-＜2x＜kπ+
-＜x＜+(k∈z)
即x∈(-,+)時，原函式是增函式.
評析：此題的難點在於通過三角恒等化簡，將函式化為乙個三角函式.同時要求同學們必須熟悉正切函式的性質.
y=atan(ωx+φ)(a≠0)的週期為t=.
例2已知≤1,求函式y=cot2x-2cotx+5的值域.
分析：從已知條件的不等式中解出cotx的範圍，然後在此條件下求被求函式的值域.
解：由已知條件，可得0≤lg［-9cos(x+)］≤1.
得-≤cos(x+)≤
∴kπ+≤x+≤kπ+,（k∈z）.
∴kπ+≤x≤kπ+,（k∈z）.
∴0≤cotx≤y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4
∴當x=kπ+,（k∈z）時，y取最小值4.
當x=kπ+,（k∈z）時，y取最大值5.
從而函式y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.
【課本難題解答】
課本第72頁第5題：
(1)(2)
第6題：(1)d(2)c(3)c(4)b
【命題趨勢分析】
從歷屆高考試題可以看到，本節內容主要考查函式的定義域，週期性，影象及單調性等知識，一般以選擇題，填空題題型出現，屬基本題.
【典型熱點考題】
例1滿足tanα≥cotα的角的乙個取值區間是()
a.(0，)b.［0，］c.［，］d.(，)
分析：本考查正切函式單調性，應化同名函式，再化角為同一單調區間內.
解：由選擇項，可以考慮α∈(0，)的情況.
∵tanα≥tan(-α),且α,-α∈(0,)
故選c.
例2函式y=的最小正週期是()
解法1：將四個選項分別代入函式式驗算，可知b正確.
∴應選b.
解法2：y==cos4x
∴t==
∴應選b.
例3函式y=+的定義域是.
由①②得0＜x≤4⑤
∴0＜x＜或π≤x≤4.
∴應填(0，)∪[π，4]
例4如果α、β∈(,π),且tanα＜cotβ,那麼必有()
a.α＜βb.β＜αc.α+β＜d.α+β＞
解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.
有tan(α+β)=＞0
有∴應選c.
說明：本題也可採取化為同名函式的方法，或都取特殊值比如取α=β=,可排除a、b、d.
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