求證兩線段相等是平面幾何中的重要題型，其證明方法較多。為幫助初三學生掌握一些常見的證法，本文在《幾何》第
二、三冊知識範圍內，歸類總結若干方法如下，供初三學生複習時參考。
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質有：
1.三角形
①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等，全等形包括平移型、旋轉型、翻摺型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；
⑤角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；
此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質等證明線段相等。
一、利用全等三角形的對應邊相等證明
例1、如圖1，已知c在bd上，△abc與△cde都是等邊三角形，be、ad分別與ac、ce交於p、q。
求證：cp=cq。
證明：因為△abc和△cde都是等邊三角形，所以在△acd與△bce中，
ac=bc，cd=ce。
因為∠1=∠2=60°，
所以∠acd=∠bce=60°+∠3=120°，
所以△acd≌△bce（sas），
所以∠4=∠5。
在△acq與△bcp中，ac=bc，∠4=∠5，又知∠3=60°=∠1，
所以△acq≌△bcp（asa），所以cp=cq。
二、利用等腰三角形定理及逆定理證明
例2、如圖2，已知：在△abc中，ab=ac，在ab、ac上的線段ad=ae。
求證：fb=fc，fe=fd。
證明：在△abc中，因為ab=ac，ad=ae，所以db=ec。
在△ebc與△dcb中，因為db=ec，bc=bc，
又∠abc=∠acb（等腰三角形的底角相等），
所以△ebc≌△dcb（sas），所以be=cd，∠ebc=∠dcb，
所以△fbc是等腰三角形，所以fb=fc，
故，即fe=fd。
證法2：也可以△acd≌△abe（sas），從而得到∠abe=∠acd，證得△fbc為等腰三角形，再通過平行線內錯角相等證明△fde為等腰三角形。
三、利用等腰三角形「三線合一」定理證明
例3、如圖3，已知△abc為rt△，d為斜邊ab的中點，de⊥ac於e，df⊥bc於f。
求證：ae=ce，bf=cf。
證明：因為d是rt△abc的斜邊ab的中點，
所以連cd後，則ad=cd=bd。
所以△cda與△cdb均為等腰三角形，
另外de⊥ac，df⊥bc，
所以ae=ce，bf=cf。
（等腰三角形底邊上的高平分底邊）。
證法2：可直接用三角形中位線定理或平行線擷取線段成比例證明。
四、利用角平分線上的點到這個角兩邊等距離證明
例4、如圖4，已知：△abc中，ab=ac，ad是底邊bc上的中線，∠b、∠c的平分線交於i，
求證：i到ab、bc、ca的距離相等。
證明：因為ab=ac，ad是bc邊的中線，所以ad平分∠bac且ad⊥bc，而∠b、∠c的平分線交於i，
所以ad過i點，即i是△abc的內心，作ie⊥ac於e，if⊥ab於f，故id=ie=if。所以i到ab、bc、ca的距離相等。
五、利用垂直平分線上的點到該線段兩端等距離證明
六、利用兩三角形面積相等，等底必等高，等高必等底證明
例6、求證：等腰三角形兩腰上的高相等。
證明：如圖6，在等腰△abc中，作bd⊥ac於d，ce⊥ab於e，
因為s△abc=bd·ac/2=ce·ab/2
而ab=ac，所以bd=ce，命題得證。
證明2：也可以用全等三角形證明。
練習題：
1、在rt△abc中，∠a=90°，∠b的平分線和ac交於d，bc邊上的高af和bd交於e。求證：ad=ae。
（提示：應用兩角互餘及三角形外角定理證∠adb=∠aed）
5、如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上的一點，且be=ac，延長be交ac於f。
求證：af=ef。
6、如圖，△abc中，∠c為直角，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd，de與ab交於f。
求證：ef=fd。
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