這就是著名的斯坦納--萊默斯定理。2023年,萊默斯[c.l.
lehmus]在給斯圖姆[c.sturm]的一封信中提出的，他請求給出乙個純幾何的證明，斯圖姆向許多數學家提到此問題。首先回答的是瑞士大幾何學家斯坦納[j.
steiner]。後來該定理就以「斯坦納--萊默斯定理」命名而聞名於世。在2023年的一篇報道中提到該定理約有60多種證法。
下面給出兩種證法.
己知在△abc中，be,cf是∠b，∠c的平分線，be=cf。求證:ab=ac.
證法一設ab≠ac，不妨設ab>ac，這樣∠acb>∠abc， 從而∠bcf=∠fce=∠acb/2>∠abc/2=∠cbe=∠ebf。
在△bcf和△cbe中，因為bc=bc， be=cf，∠bcf>∠cbe.
所以 bf>ce。 (1)
作平行四邊形begf，則∠ebf=∠fge，eg=bf，fg=be=cf，連cg，
故△fcg為等腰三角形，所以∠fcg=∠fgc。
因為∠fce>∠fge，所以∠ecg<∠egc。
故得 ce>eg=bf. (2)
顯然(1)與(2)是矛盾的，故假設ab≠ac不成立，於是必有ab=ac。
證法二在△abc中，假設∠b≥∠c，則可在cf上取一點f'，使∠f'be=∠ecf'，這有cf≥cf'。
延長bf'交ac於a',則由∠ba'e=∠ca'f',有δa'be∽δa'cf'.
從而a'b/a'c=be/cf'≥be/cf=1.
那麼在△a'bc中，由a'b≥a'c，得:
∠a'cb≥∠a'bc，即∠c≥(∠b+∠c)/2，故∠b≤∠c。
再由假設∠b≥∠c，即有∠b=∠c。
所以△abc為等腰三角形。
證明等腰三角形
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2 1等腰三角形
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7等腰三角形
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