利用三角形全等是證明線段相等的重要方法之一，但有時不能直接應用，就需要根據條件通過作輔助線構造全等三角形，使題目中的條件集中.構造全等三角形的方法主要有翻摺，旋轉，擷取，延長等.
1.翻摺法構造全等三角形
【例1】 如下圖所示，已知△abc中，ac=bc，∠acb=90°，bd平分∠abc，求證：ab=bc+cd.
【分析】 要證ab=bc+cd，由bd平分∠abc，我們想到翻摺△bcd，使得bc與ab重合，如上圖，翻摺了以後再證明ae＝de就可以了.
證明：bd平分∠abc，將△bcd沿bd翻摺180°，點c落在ba上的e點，則有bc=be，
在△bcd和△bed中，
∴ △bcd≌△bed（sas）
∴ ∠deｂ=∠acb=90°，cd=de，（全等三角形對應邊，對應角相等）
∴ ∠deａ=90°，
∵ △abc中，∠acb=90°，ac=bc，
∴ ∠a=45°， ∴ ∠eda=∠a=45°，
∴ de=ea，
∴ ab=be+ea=bc+cd，
即ab=bc+cd.
2.旋轉法構造全等三角形
【例2】 如下圖所示，已知點e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，並且af平分∠ead.
求證：be+df=ae.
【分析】 由於要證結論是be+df=ae，我們自然想到把be、df放在同一條直線上.由於四邊形是正方形，所以旋轉△adf可實現我們的設想.
證明：將△adf繞點a順時針旋轉90°至△abg，則△adf≌△abg，
∴ ∠g=∠afd，∠gab=∠fad，df=bg，
∴ be+df=be+bg=ge.
又∵ af平分∠ead，
∴ ∠fad=∠fae=∠gab.
∴ ∠gab+∠bae=∠fae+∠bae，
即∠gae=∠baf.
又∵ ab∥cd，
∴ ∠baf=∠afd＝∠gae=∠g.
∴ 在△eag中，ae=ge，
即be+df=ae.
【點評】 利用旋轉巧妙地將兩條分離的線段「連線」在一起從而得證，利用旋轉構造三角形全等是經常用到的方法.
3.延長法構造全等三角形
【例3】 如下圖所示，△abc中，∠c=2∠b，∠1=∠2，
求證：ab=ac+cd.「
【分析】 本題要證的結論也是兩條線段長度之和等於一條線段的長度，與前面例2的思路相同，我們想到使不共線兩條線段ac、cd組合成一條線段，延長ac是必然的（如上圖）.由於有條件∠1＝∠2，然後再證明△abd≌△aed就輕而易舉.
證明：延長ac至e，使ae=ab，連線de，
在△abd和△aed中，
∴ △abd≌△aed.
∴ ∠b=∠e.
∵ ∠acd=∠e+∠cde，∠acd=2∠b，
∴ ∠acd=2∠e. ∴ ∠e=∠cde.
∴ cd=ce. ∴ ab=ac+cd.
【小結】 本例中用到的方法叫「補短法」，是將較短的線段ac補長，構造全等三角形，從而達到求解目的.也可採用「截長法」，即在ab上擷取af=ac，連線df，構造三角形全等，這兩種方法通常適合於證明一條線段等於兩條線段的和.
4.擷取法構造全等三角形
【例4】 如下圖所示，在△abc中，ad為bc邊上的高，∠b=2∠c.求證：cd=ab+bd.
【分析】 在dc上擷取de=db後顯然△ade≌△adb，然後再證明ae＝ec就可以了.
證明：在dc上擷取de=db，連線ae，
則△ade≌△adb.
∴ ae=ab，∠aeb=∠b，
∵ ∠aeb=∠c+∠cae，∠b=2∠c，ed=bd，
∴ ∠aeb=2∠c.
∴ ∠c=∠cae，故ce=ae=ab.
∴ cd=ce+ed=ae+ed=ab+bd.
5.作平行線構造全等三角形
【例5】 如下圖所示，在△def中，de=df，過ef上一點a作直線分別與de、df的延長線交於點b、c，且be=cf.
求證：ab=ac.
【分析】 要證ab=ac，我們很自然想到過點b做cd的平行線，然後再證△agb≌△afc.條件de=df和be=cf結合所作的平行線可得出bg＝cf，有了邊的相等關係證△agb≌△afc就容易多了.
證明：過b作bg∥cd交ef於g.
∵ bg∥cd， ∴ ∠egb=∠efd.
∵ de=df， ∴ ∠e=∠efd，
∴ ∠e=∠egb，
∴ be=bg.
∵ be=cf， ∴ bg=cf.
∵ bg∥cd.
∴ ∠gba=∠acf，∠agb=∠afc.
在△agb和△afc中，
∴ △agb≌△afc.
∴ ab=ac.
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