2023年全國各地高考數學真題分章節分類彙編
第17部分:推理與證明
一、選擇題:
1．（2023年高考山東卷文科10）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函式滿足，記為的導函式，則=
（a） (bcd)
【答案】d
【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函式是偶函式，則它的導函式是奇函式，因為定義在上的函式滿足，即函式是偶函式，所以它的導函式是奇函式，即有=，故選d。
【命題意圖】本題考查函式、歸納推理等基礎知識，考查同學們模擬歸納的能力。
二、填空題：
1．（2023年高考福建卷文科16）觀察下列等式：
① cos2a=2-1;
② cos4a=8- 8+ 1;
③ cos6a=32- 48+ 18- 1;
④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推測，m – n + p
【答案】962
【解析】因為所以；觀察可得，
，所以m – n + p =962。
【命題意圖】本小題考查三角變換、模擬推理等基礎知識，考查同學們的推理能力等。
2．（2023年高考福建卷文科15）對於平面上的點集，如果連線中任意兩點的線段必定包含於，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區域及其邊界）：
[**:學科網zxxk]
其中為凸集的是寫出所有凸集相應圖形的序號）。
【答案】②③
3．（2023年高考陝西卷文科11）觀察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根據上述規律，第四個等式為
【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
【解析】∵所給等式左邊的底數依次分別為；；，右邊的底數依次分別為（注意：這裡），∴由底數內在規律可知：第五個等式左邊的底數為，右邊的底數為.
又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第四個等式為13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
三、解答題：
1．(2023年高考北京卷文科20)（本小題共13分）
已知集合對於，，定義a與b的差為
a與b之間的距離為
（ⅰ）當n=5時，設，求，；
（ⅱ）證明：，且;
(ⅲ) 證明：三個數中至少有乙個是偶數
（ⅰ）解： =（1,0,1,0,1）
3(ⅱ)證明：設[**:學科網zxxk]
因為，所以
從而由題意知[**
當時，當時，所以(ⅲ)證明：設
記由（ⅱ）可知
所以中1的個數為k,中1的個數為
設是使成立的的個數。則
由此可知，三個數不可能都是奇數
即三個數中至少有乙個是偶數。
2．(2023年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實數數列中，，，且成等差數列．
（1）證明數列中有無窮多項為無理數；
（2）當為何值時，為整數，並求出使的所有整數項的和．
【答案】證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則．
用反證法證明這些都是無理數．
假設為有理數，則必為正整數，且，
故．，與矛盾，
所以都是無理數，即數列中有無窮多項為無理數；
方法二：因為，當得末位數字是3,4,8,9時，的末位數字是3和7，它不是整數的平方，也不是既約分數的平方，故此時不是有理數，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多．
（2）要使為整數，由可知：同為偶數，且其中乙個必為3的倍數，所以有或當時，有又必為偶數，所以滿足
即時，為整數；同理有
也滿足即時，為整數；顯然和是數列中的不同項；所以當和時，為整數；由有，
由有．設中滿足的所有整數項的和為，則
．3．（2023年高考上海卷文科22）（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。
若實數、、滿足，則稱比接近.
（1）若比3接近0，求的取值範圍；
（2）對任意兩個不相等的正數、，證明：比接近；
（3）已知函式的定義域.任取，等於和中接近0的那個值.寫出函式的解析式，並指出它的奇偶性、最小正週期、最小值和單調性（結論不要求證明）.
解析：(1) x(2,2)；
(2) 對任意兩個不相等的正數a、b，有，，
因為，所以，即a2bab2比a3b3接近；
(3),kz，
f(x)是偶函式，f(x)是週期函式，最小正週期t，函式f(x)的最小值為0，
函式f(x)在區間單調遞增，在區間單調遞減，kz．
4．（2023年高考廣東卷文科21）（本小題滿分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m
已知曲線，點是曲線上的點（n=1,2,…）.
（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，並求出與軸的交點的座標；
（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求試點的座標；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
（3）設與為兩個給定的不同的正整數，與是滿足（2）中條件的點的座標，
證明：w5．（2023年高考湖北卷文科21）（本小題滿分14分）
設函式，其中a＞0，曲線在點p（0，）處的切線方程為y=1
（ⅰ）確定b、c的值
（ⅱ）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，
（ⅲ）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值範圍。
6．（2023年高考湖南卷文科20）（本小題滿分13分）
給出下面的數表序列：
其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n個數是1,3,5， 2n-1，從第2行起，每行中的每個數都等於它肩上的兩數之和。
（i）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，並將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（ii）每個數列中最後一行都只有乙個數，它們構成數列1,4,12，記此數列為
求和：7．（2023年高考四川卷文科22）（本小題滿分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m
設（且），g(x)是f(x)的反函式.
（ⅰ）求；
（ⅱ）當時，恒有成立，求t的取值範圍；
（ⅲ）當0＜a≤時，試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小，並說明理由.
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