2023年全國各地高考數學真題分章節分類彙編
第17部分:推理與證明
一、填空題:
1.(2023年高考陝西卷理科12)觀察下列等式:,根據上述規律,第五個等式為.
【解析】(方法一)∵所給等式左邊的底數依次分別為;;,右邊的底數依次分別為(注意:這裡),∴由底數內在規律可知:第五個等式左邊的底數為,右邊的底數為.
又左邊為立方和,右邊為平方的形式,故第五個等式為
.(方法二)∵易知第五個等式的左邊為,且化簡後等於,而,故易知第五個等式為.
二、解答題:
1.(2023年高考數學湖北卷理科20) (本小題滿分13分)
已知數列滿足:, ,;數列滿足: =-(n≥1).
(ⅰ)求數列,的通項公式;
(ⅱ)證明:數列中的任意三項不可能成等差數列.
2. (22)( 2023年高考全國卷i理科22)(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)
已知數列中, .
(ⅰ)設,求數列的通項公式;
(ⅱ)求使不等式成立的的取值範圍 .
【命題意圖】本小題主要考查數列的通項公式、等比數列的定義、遞推數列、不等式等基礎知識和基本技能,同時考查分析、歸納、**和推理論證問題的能力,在解題過程中也滲透了對函式與方程思想、化歸與轉化思想的考查.
【解析】
(ⅱ)用數學歸納法證明:當時.
(ⅰ)當時,,命題成立;
3.(2023年高考四川卷理科22)(本小題滿分14分)
設(且),g(x)是f(x)的反函式.
(ⅰ)設關於的方程求在區間[2,6]上有實數解,求t的取值範圍;
(ⅱ)當a=e(e為自然對數的底數)時,證明:;
(ⅲ)當0<a≤時,試比較與4的大小,並說明理由.
4.(2023年高考江蘇卷試題23)(本小題滿分10分)
已知△abc的三邊長都是有理數。
(1)求證cosa是有理數;(2)求證:對任意正整數n,cosna是有理數。
[解析] 本題主要考查餘弦定理、數學歸納法等基礎知識,考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。
(方法一)(1)證明:設三邊長分別為,,∵是有理數,
是有理數,分母為正有理數,又有理數集對於除法的具有封閉性,
∴必為有理數,∴cosa是有理數。
(2)①當時,顯然cosa是有理數;
當時,∵,因為cosa是有理數, ∴也是有理數;
②假設當時,結論成立,即coska、均是有理數。
當時,,,,
解得:∵cosa,,均是有理數,∴是有理數,
∴是有理數。
即當時,結論成立。
綜上所述,對於任意正整數n,cosna是有理數。
(方法二)證明:(1)由ab、bc、ac為有理數及餘弦定理知
是有理數。
(2)用數學歸納法證明cosna和都是有理數。
①當時,由(1)知是有理數,從而有也是有理數。
②假設當時,和都是有理數。
當時,由,
,及①和歸納假設,知和都是有理數。
即當時,結論成立。
綜合①、②可知,對任意正整數n,cosna是有理數。
5.(2023年高考江西卷理科22)(本小題滿分14分)
證明以下命題:
(1)對任一正整數,都存在正整數,使得成等差數列;
(2)存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列.
22.(本小題滿分14分)
證明:(1)易知成等差數列,故也成等差數列,
所以對任一正整數,都存在正整數,使得成等差數列.
(2)若成等差數列,則有,
即選取關於的乙個多項式,例如,使得它可按兩種方式分解因式,由於
因此令,可得
易驗證滿足①,因此成等差數列,
當時,有且
因此為邊可以構成三角形.
其次,任取正整數,假若三角形與相似,則有:
,據比例性質有:
所以,由此可得,與假設矛盾,
即任兩個三角形與互不相似,
所以存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列.
6.(2023年高考全國2卷理數18)(本小題滿分12分)
已知數列的前項和.
(ⅰ)求;
(ⅱ)證明:.
【命題意圖】本試題主要考查數列基本公式的運用,數列極限和數列不等式的證明,考查考生運用所學知識解決問題的能力.[**:z&xx&
【參***】
【點評】2023年高考數學全國i、ⅱ這兩套試卷都將數列題前置,一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式,具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用,也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.
估計以後的高考,對數列的考查主要涉及數列的基本公式、基本性質、遞推數列、數列求和、數列極限、簡單的數列不等式證明等,這種考查方式還要持續.
7. (2023年高考重慶市理科21) (本小題滿分12分,(ⅰ)小問5分,(ⅱ)小問7分.)
在數列中,,其中實數.
(ⅰ) 求的通項公式;
(ⅱ) 若對一切有,求c的取值範圍.
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