應用題1.（四川理9）某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往地至少72噸的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運送一次．派用的每輛甲型卡車虛配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車虛配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計畫當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤z=
a．4650元 b．4700元 c．4900元 d．5000元
【答案】c
【解析】由題意設派甲，乙輛，則利潤，得約束條件畫出可行域在的點代入目標函式
2.（湖北理10）放射性元素由於不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變。假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量m（單位：
太貝克）與時間t（單位：年）滿足函式關係：，其中m0為t=0時銫137的含量。
已知t=30時，銫137含量的變化率是-10in2（太貝克／年），則m（60）=
a．5太貝克b．75in2太貝克
c．150in2太貝克d．150太貝克
【答案】d
3.（北京理）。根據統計，一名工作組裝第x件某產品所用的時間（單位：
分鐘）為 （a，c為常數）。已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第a件產品用時15分鐘，那麼c和a的值分別是
a．75，25 b．75，16 c．60，25d．60，16
【答案】d
4．（陝西理）植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺。開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （公尺）。
【答案】2000
5．（湖北理）《九章算術》「竹九節」問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共為3公升，下面3節的容積共4公升，則第5節的容積為公升。
【答案】
6.（湖北理）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：
千公尺/小時）是車流密度x（單位：輛/千公尺）的函式。當橋上的的車流密度達到200輛/千公尺時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千公尺時，車流速度為60千公尺/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度x的一次函式．
（ⅰ）當時，求函式的表示式;
（ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，並求出最大值（精確到1輛/小時）
本小題主要考查函式、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力。（滿分12分）
解：（ⅰ）由題意：當；當
再由已知得
故函式的表示式為
（ⅱ）依題意並由（ⅰ）可得
當為增函式，故當時，其最大值為60×20=1200；
當時，當且僅當，即時，等號成立。
所以，當在區間[20，200]上取得最大值
綜上，當時，在區間[0，200]上取得最大值。
即當車流密度為100輛/千公尺時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。
7.（湖南理20）。如圖6，長方體物體e在雨中沿面p（面積為s）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v＞0），雨速沿e移動方向的分速度為。
e移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）p或p的平行面（只有乙個面淋雨）的淋雨量，假設其值與×s成正比，比例係數為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記y為e移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積s=時。
（ⅰ）寫出y的表示式
（ⅱ）設0＜v≤10,0＜c≤5，試根據c的不同取值範圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少。
解：（i）由題意知，e移動時單位時間內的淋雨量為，
故，（ii）由（i）知
當時，當
故（1）當時，y是關於v的減函式，
故當（2）當時，在上，y是關於v的減函式，
在上，y是關於v的增函式，
故當8.（江蘇17）請你設計乙個包裝盒，如圖所示，abcd是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合於圖中的點p，正好形成乙個正四稜柱形狀的包裝盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設ae=fb=cm
（1）某廣告商要求包裝盒側面積s（cm）最大，試問應取何值？
（2）某廣告商要求包裝盒容積v（cm）最大，試問應取何值？並求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。
p本小題主要考查函式的概念、導數等基礎知識，考查數學建模能力、空間想象力、數學閱讀能力及解決實際問題的能力。滿分14分.
解：設饈盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得
（1）所以當時，s取得最大值.
（2）由（舍）或x=20.
當時，所以當x=20時，v取得極大值，也是最小值.
此時裝盒的高與底面邊長的比值為
9.（福建理18）。某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售**x（單位：元/千克）滿足關係式，其中3（i）求a的值
（ii）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售**x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
本小題主要考查函式、導數等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，滿分13分。
解：（i）因為x=5時，y=11，所以
（ii）由（i）可知，該商品每日的銷售量
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
從而，於是，當x變化時，的變化情況如下表：
由上表可得，x=4是函式在區間（3，6）內的極大值點，也是最大值點；
所以，當x=4時，函式取得最大值，且最大值等於42。
答：當銷售**為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
10.（山東理21）某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：公尺），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方公尺，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3千元，半球形部分每平方公尺建造費用為千元，設該容器的建造費用為千元．
（ⅰ）寫出關於的函式表示式，並求該函式的定義域；
（ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．
解：（i）設容器的容積為v，
由題意知故由於
因此所以建造費用
因此 （ii）由（i）得由於當
令所以（1）當時，
所以是函式y的極小值點，也是最小值點。
（2）當即時，
當函式單調遞減，
所以r=2是函式y的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時
當時，建造費用最小時
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