圖形與證明

1.兩個完全相同的矩形紙片、如圖6放置,.

求證:四邊形為菱形.

2．如圖，在正三角形中，，，分別是，，上的點，，，，則的面積與的面積之比等於（）

a．1∶3 b．2∶3 c．∶2 d．∶3

3.如圖，已知矩形，將沿對角線摺疊，記點的對應點為′，若′=20°，則的度數為 _．

4.如圖，已知，是斜邊的中點，

過作於，鏈結交於；

過作於，…，如此繼續，可以依次得到點，…，，分別記…，的面積為，….則用含的代數式表示）.

5.若為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點.

（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值為________；

（2）如圖，在銳角外側作等邊′鏈結′.

求證：′過的費馬點，且′=

6.如圖7所示，p1（x1，y1）、p2（x2，y2），……pn（xn，yn）在函式y=（x＞0）的圖象上，△op1a1，△p2a1a2，△p3a2a3……△pnan－1an……都是等腰直角三角形，斜邊oa1，a1a2……an-1an，都在x軸上，

則y1+y2+…yn

7.如圖甲，在△abc中，∠acb為銳角，點d為射線bc上一動點，鏈結ad，以ad為一邊且在ad的右側作正方形adef。

解答下列問題：

（1）如果ab=ac，∠bac=90°，①當點d**段bc上時（與點b不重合），如圖乙，線段cf、bd之間的位置關係為數量關係為

②當點d**段bc的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什麼？

（2）如果ab≠ac，∠bac≠90°點d**段bc上運動。

試**：當△abc滿足乙個什麼條件時，cf⊥bc（點c、f重合除外）？畫出相應圖形，並說明理由。（畫圖不寫作法）

（3）若ac=4，bc=3，在（2）的條件下，設正方形adef的邊de與線段cf相交於點p，求線段cp長的最大值。

8.如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，

如果∠1=32o，那麼∠2的度數是（）

a.32ob.58o c.68o d.60o

9. 在平面直角座標系中，o為座標原點.

(1)已知點a(3,1)，鏈結oa，平移線段oa，使點o落在點b.設點a落在點c,作如下**：

**一：若點b的座標為(1，2)，請在圖1中作出平移後的像，則點c的座標是 ▲ ；鏈結ac，bo，請判斷o，a，c，b四點構成的圖形的形狀，並說明理由；

**二：若點b的座標為(6，2)，按**一的方法,判斷o，a，b,c四點構成的圖形的形狀（直接寫出結論即可）.

（溫馨提示:作圖時,別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔!）

(2)通過上面的**，請直接回答下列問題：

①若已知三點a (a，b)，b(c，d)，c (a+c，b+d)，順次鏈結o，a，c，b，請判斷所得到的圖形的形狀；

②在①的條件下，如果所得到的圖形是菱形或者是正方形，請選擇一種情況，寫出a，b，c，d應滿足的關係式.

10.如圖，在平面直角座標系中，點a（0，6），點b是x軸上的乙個動點，鏈結ab，取ab的中點m，將線段mb繞點b按順時針方向旋轉90o，得到線段bc.過點b作x軸的垂線交直線ac於點d.

設點b座標是（t，0）.

（1）當t=4時，求直線ab的解析式；

（2）當t>0時，用含t的代數式表示點c的座標及△abc的面積；

（3）是否存在點b,使△abd為等腰三角形?若存在，請求出所有符合條件的點b的座標；若不存在，請說明理由.

11.如圖，在rt△abc中，ab=ac，ad⊥bc，垂足為d，e、f分別是dc、ad上的點，且ce=af。如果∠aed=62，

那麼∠fbd的大小為（）

a、62 ；b、38 ；c、28 ；d、26。

12.一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數是

13.依次鏈結第乙個矩形的中點得到乙個菱形，再一次鏈結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按此方法繼續下去。已知第乙個矩形的面積為1，則第n個矩形的面積是

14.如圖，在△abc中，點o是邊ac上的乙個動點，過點o作直線mn∥bc，交∠acb的平分線於點e，交∠acb的外角平分線於點f.

（1）求證：oc=ef；

（2）當點o位於ac邊的什麼位置時，

四邊形aecf是矩形？並給出證明。

15.如圖，點、是雙曲線上的點，分別經過、兩點向軸、軸作垂線段，若則．

16.如圖，中，直線交於點交於點交於點若則．

17.矩形中，對角線、交於點，於若則．

18.已知中，為邊的中點，

繞點旋轉，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）於、

當繞點旋轉到於時（如圖1），易證

當繞點旋轉到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，不需證明．

19.如圖，在平面直角座標系中，若、的長是關於的一元二次方程的兩個根，且

（1）求的值．

（2）若為軸上的點，且求經過、兩點的直線的解析式，並判斷與是否相似？

（3）若點在平面直角座標系內，則在直線上是否存在點使以、、、為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的座標；若不存在，請說明理由．

20.如圖，已知點a、b在雙曲線（x＞0）上，ac⊥x軸於點c，bd⊥y軸於點d，ac與bd交於點p，p是ac的中點，若△abp的面積為3，則k＝．

21.如圖（1），已知正方形abcd在直線mn的上方，bc在直線mn上，e是bc上一點，以ae為邊在直線mn的上方作正方形aefg．

（1）連線gd，求證：△adg≌△abe；(4分)

（2）連線fc，觀察並猜測∠fcn的度數，並說明理由；(4分)

（3）如圖（2），將圖（1）中正方形abcd改為矩形abcd，ab=a，bc=b（a、b為常數），e是線段bc上一動點（不含端點b、c），以ae為邊在直線mn的上方作矩形aefg，使頂點g恰好落在射線cd上．判斷當點e由b向c運動時，∠fcn的大小是否總保持不變，若∠fcn的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠fcn的值；若∠fcn的大小發生改變，請舉例說明．(5分)

22.如圖所示，把乙個長方形紙片沿ef摺疊後，點d，c分別落在d′，c′的位置．若∠efb＝65°，則∠aed′等於

（a） 70

（b） 65

（c） 50

23. 如圖，點a的座標為(－1，0)，點b在直線y=x上運動，當線段ab最短時，點b的座標為

（a）（0，0

（b（c

（d24. 將三角形紙片（△abc）按如圖所示的方式摺疊，使點b落在邊ac上，記為點b′，摺痕為ef．已知ab＝ac＝3，bc＝4，若以點b′，f，c為頂點的三角形與△abc相似，那麼bf的長度是

25.如圖，在四邊形abcd中，已知ab與cd不平行，∠abd＝∠acd，請你新增乙個條件使得加上這個條件後能夠推出ad∥bc且ab＝cd.

26.正方形a1b1c1o，a2b2c2c1，a3b3c3c2，…按如圖所示的方式放置．點a1，a2，a3，…和點c1，c2，c3，…分

別在直線(k＞0)和x軸

上，已知點b1(1，1)，b2(3，2)，

則bn的座標是

27. 已知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作ef⊥bd交bc於f，連線df，g為df中點，連線eg，cg．

（1）求證：eg=cg；

（2）將圖①中△bef繞b點逆時針旋轉45，如圖②所示，取df中點g，連線eg，cg．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）將圖①中△bef繞b點旋轉任意角度，如圖③所示，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什麼結論？（均不要求證明）

28.在中，為邊上的點，聯結（如圖3所示）．如果將沿直線翻摺後，點恰好落在邊的中點處，那麼點到的距離是．

29已知：如圖，以rt△abc的三邊為斜邊分別向外作等腰

直角三角形.若斜邊ab =3，則圖中陰影部分的面積為

30. 如圖，菱形abcd的對角線長分別為a、b，以菱形abcd各邊的

中點為頂點作矩形a1b1c1d1，然後再以矩形a1b1c1d1各邊的中點為頂點

作菱形a2b2c2d2，……，如此下去，則得到四邊形a 2009b2009c2009d2009的面積

用含a、b的代數式表示為

31. 已知：如圖，四邊形abcd是菱形，過ab的中點e作ac的垂線ef，交ad於點m，交cd的延長線於點f.

（1）求證：am =dm；

（2）若df =2，求菱形abcd的周長.

32. 菱形在平面直角座標系中的位置如圖所示，，則點的座標為（）

abcd．

33. 如圖，在中，，分別以為邊向外作和，使．延長交邊於點，點在兩點之間，鏈結．

（1）求證：．（4分）

（2）當時，求的度數．（3分）

34. 如圖7，正方形abcd的兩條鄰邊分別在x、y軸上，點e在bc邊上，ab = 4，be = 3，若將△cde繞點d按順時針方向旋轉90°，則點e的對應點的座標為

35. 已知ab＝ac，db＝de，∠bac＝∠bde＝α．

⑴若α＝60°（如圖14）**線段ad與ce的數量關係，並加以證明．

⑵若α＝120°，並且點d**段ab上，（如圖15）則線段ad與ce的數量關係為＿＿＿＿＿＿＿（直接寫出答案）

⑶**線段ad與ce的數量關係（如圖16）並加以證明．

36. 如圖17，在矩形abcd中，ab＝1，bc＝3，點e為bc邊上的動點（點e與點b、c不重合），設be＝x．

操作：在射線bc上取一點f，使得ef＝be，以點f為直角頂點、ef為邊作等腰直角三角形efg，設△efg與矩形abcd重疊部分的面積為s．

圖形與證明

圖形與證明

圖形與證明

圖形與證明

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