一、填空題
．（2023年高考重慶數學（理））如圖,在中,, ,過作的外接圓的切線,,與外接圓交於點,則的長為
【命題立意】本題考查與圓有關的幾何證明問題。，延長ba交切線cd於m.因為，所以ab為直徑，所以半徑為10.
鏈結oc，則,且，因為，所以, ,即且.即,所以.所以，即.
．（2023年高考天津數學（理）試題（含答案））如圖, △abc為圓的內接三角形, bd為圓的弦, 且bd//ac. 過點a 做圓的切線與db的延長線交於點e, ad與bc交於點f. 若ab = ac, ae = 6, bd = 5, 則線段cf的長為______.
．（2023年高考廣東省數學（理）卷（純word版））(幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點在圓上,延長到使,過作圓的切線交於.若, ,則
依題意易知,所以,又,所以,從而.
．（2023年高考四川卷（理））設為平面內的個點,在平面內的所有點中,若點到點的距離之和最小,則稱點為點的乙個「中位點」.例如,線段上的任意點都是端點的中位點.則有下列命題:
①若三個點共線,**ab上,則是的中位點;
②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點;
③若四個點共線,則它們的中位點存在且唯一;
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.
其中的真命題是寫出所有真命題的序號數學社群)
①④ ①若三個點a、b、c共線，c**段ab上，根據兩點之間線段最短，則c是a，b，c的中位點，正確；
②舉乙個反例，如邊長為3，4，5的直角三角形abc，此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為5+2.5=7.5，而直角頂點到三個頂點的距離之和為7，
所以直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點a、b、c、d共線，則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意乙個點，故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖，在梯形abcd中，對角線的交點o，p是任意一點，則根據三角形兩邊之和大於第三邊得pa+pb+pc+pd≥ac+bd=oa+ob+oc+od，
所以梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．
故答案為：①④．
．（2023年高考陝西卷（理））b. (幾何證明選做題) 如圖, 弦ab與cd相交於內一點e, 過e作bc的平行線與ad的延長線相交於點p. 已知pd=2da=2, 則pe=_____.
．（2023年高考湖南卷（理））如圖2,在半徑為的中,弦相交於點, ,則圓心到弦的距離為
本題考查與圓有關的幾何證明。鏈結od，取cd的中點m.則om.由相交弦定理得解得,所以.所以.
．（2023年高考湖北卷（理））如圖,圓上一點在直線上的射影為,點在半徑上的射影為.若,則的值為
8本題考查與圓有關的幾何證明。設圓的半徑為,則,.又,所以,所以。
．（2023年高考北京卷（理））如圖,ab為圓o的直徑,pa為圓o的切線,pb與圓o相交於d.若pa=3, ,則pdab
;4 由pd：db=9：16，可設pd=9x，db=16x．
因為pa為圓o的切線，所以pa2=pdpb，
所以32=9x（9x+16x），化為，所以．
所以pd=9x=，pb=25x=5．
因為ab為圓o的直徑，pa為圓o的切線，所以ab⊥pa．
所以==4．
二、解答題
．（2023年高考新課標ⅱ卷數學（理））選修4—1幾何證明選講:如圖,為△外接圓的切線,的延長線交直線於點,分別為弦與弦上的點,且,四點共圓.
(ⅰ)證明:是△外接圓的直徑;
(ⅱ)若,求過四點的圓的面積與△外接圓面積的比值.
．（2023年高考遼寧數學（理））選修4-1:幾何證明選講
如圖, 垂直於於,垂直於,連線.證明:
．（2023年高考江蘇卷（數學））a.[選修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分.
如圖,和分別與圓相切於點,經過圓心,且
求證:a證明:連線od,∵ab與bc分別與圓o相切於點d與c
∴,又∵
∴~ ∴ 又∵bc=2oc=2od ∴ac=2ad
．（2023年高考新課標1（理））選修4—1:幾何證明選講如圖,直線ab為圓的切線,切點為b,點c在圓上,∠abc的角平分線be交圓於點e,db垂直be交圓於d.
(ⅰ)證明:db=dc;
(ⅱ)設圓的半徑為1,bc= ,延長ce交ab於點f,求△bcf外接圓的半徑.
(ⅰ)鏈結de,交bc與點g.
由弦切角定理得,∠abf=∠bce,∵∠abe=∠cbe,∴∠cbe=∠bce,be=ce,
又∵db⊥be,∴de是直徑,∠dce=,由勾股定理可得db=dc.
(ⅱ)由(ⅰ)知,∠cde=∠bde,bd=dc,故dg是bc的中垂線,∴bg=.
設de中點為o,鏈結bo,則∠bog=,∠abe=∠bce=∠cbe=,
∴cf⊥bf, ∴rt△bcf的外接圓半徑等於.
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