摘要：在解幾何問題時中，有時不能直接找到已知條件與未知之間的關係，因此需要新增輔助線使隱蔽的重要條件顯現出來，使分散的條件集中起來，溝通已知與未知之間的聯絡．全等變換就是一種重要的作輔助線的方法，它可以用運動的觀點，使圖形通過對折、平移、旋轉、位似得到與原圖全等的圖形，或根據需要構造必要的圖形，而新的圖形可以使題目的已知和未知聯絡起來，化難為易，從而找到新增輔助線的方法，達到解題的目的．
關鍵詞：輔助線；對折；平移；旋轉；位似；構造；變換
在解幾何問題時，有時找不到已知條件與未知之間的關係，常常會感到無從入手，沒有頭緒，令人「百思不得其解」．如何把看起來十分複雜的幾何問題通過簡潔明瞭的解題方法加以解決？是幾何問題面臨的乙個重要問題，而適當新增輔助線就是解決這個問題的乙個好方法．新增輔助線的目的在於使隱蔽的條件顯現出來，使分散的條件集中起來，溝通已知與未知之間的聯絡，完善欠缺圖形，將複雜的問題化簡為推證創造條件，促成問題的最終解決．提高學生作輔助線的水平，不僅可以提高他們解答幾何問題的能力,而且可以提高他們的空間想象能力,邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力，從而提高他們的綜合素質．然而作輔助線是有難度的，沒有一成不變的方法，有時是幾種方法聯合並用，但乙個最根本的方法是從分析問題入手，緊緊聯絡已學過的有關幾何知識，比如定義、定理、推論、公式等．試添輔助線以後，能不能再進一步得出一些過渡性的結論，而從這些過渡性結論出發，能不能再進一步推導出下乙個過渡性結論．如果新增輔助線後，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得對，成功的把握性就大，如果添輔助線後，思路反而更塞了，那一定是錯了．
用運動的觀點來觀察圖形，在許多場合下是新增輔助線的一種行之有效的方法，它是設想把某一有關部分的圖形進行對折，旋轉，平移或縮放（位似），從而巧妙地新增輔助線，有效地解決問題．下面就我個人的一些經驗，談一下常用輔助線的做法．
一對摺法
「對折法」就是「軸對稱變換法」．這是利用成軸對稱的兩個圖形是全等形這一原理，把圖中一部分或整個圖形，以某一直線為摺痕（即對稱軸）翻摺過來，就得到它的全等形．通過這種變換把較分散的線段、角集中起來，或者使原有的已知擴大，或者使各個幾何量之間的關係明顯化，所以這是乙個常用的好方法．
許多已知的圖形都有對稱軸，有的較明顯，如圓的直徑，等邊三角形的高，等腰三角形底邊上的中線，圖形中某角的角平分線或某邊的垂直平分線，等腰梯形，矩形的平行對邊的中垂線，菱形，正方形的對角線等．如果沒有現成的對稱軸，也可以設想以某直線或線段作為對稱軸，向它的另一邊翻摺180°（即對稱軸的另一邊），想象一下翻摺過去以後，各個對稱點，對稱線段或對稱的角或其他有關的點、線的分布情況如何？想妥當了，再試添輔助線．而後考慮要證的幾何元素與題設的元素之間的幾何關係．這樣，就會較合理地作出所需要的輔助線來幫助我們進行論證．
例1 如圖（1），在△abc中，ab=2，bc=3，在三角形內有一點d，使cd=2，∠adc+∠b=180°，求∠b為何值時，△abc與△adc面積之差有最大值，其最大值是多少？
分析：將△adc沿ac翻摺到△ad′c的位置，此時△≌△，∠+∠b=∠adc+∠b=180°，故四邊形內接於圓，因ab=cd=c d′=2，故知四邊形為等腰梯形，ad′∥bc．
作ae、d′f⊥bc於e、f，則ad′=ef，be=cf，於是
=△abc-△adc=△abc-△ad′c = =
=cosb2sinb=2sin2b2．
故當時，有最大值2．
例2 如圖（2），在等腰直角△abc的斜邊ab上，取兩點m、n使∠mcn=45°，記am=m，mn= x，bn=n,則以x、m、n為邊長的三角形的形狀是（ ）
（a） 銳角三角形；
（b） 直角三角形
（c） 鈍角三角形；
（d） 隨x、m、n變化而變化．
分析：（1）要判斷以x、m、n為邊長的三角形的形狀，關鍵是要設法將這三條線段
長集中到同乙個三角形中．
（2）如何利用好已知條件中的∠mcn=45°，應同時考慮∠acm+∠bcn=45°．
（3）為將長為x、m、n的三條線段集中，可考慮將△acm沿cm對折（如圖）這樣可將m、x兩條線段集中，再連線pn，若能證明pn=bn，則長為x、m、n的三條線段就集中到了△pmn中．
由∠acm+∠bcn=45°，
∠pcm+∠pcn=45°，
∴∠bcn = ∠pcn
可證△bcn≌△pcn，pn=bn=n ．
∴∠mpc=∠a=45°
∠npc=∠b=45°
∴∠mpn=∠mpc+∠npc=90°．
∴以x、m、n為邊長的三角形的形狀是直角三角形．
提示 ：當要證的結論需要集中某些線段，且圖形**現了等角或角的平分線等條件時，可考慮對折構造．
二平移法
「平移法」即平移變換法．顧名思義，其具體做法就是過某點作某線段或某直線的平行線，利用平行線性質——同位角相等、內錯角相等，或利用平行四邊形諸性質，把有關元素集中起來．
例3 如圖（3），在梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac與 bd垂直相交於o，mn是梯形abcd的中位線，∠dbc=30°．求證：ac=mn．
分析：由已知條件知：mn=（ad+bc），要證ac=mn，只需證ac=（ad+bc）.
因此，可將上底ad移至下底所在的直線上，與bc相加，即過點d作de∥ac 交bc的延長線於e，則可得∠bde=∠boc=90°，這樣就可以將問題轉化為解一銳角是30°的直角三角形的問題．
例4 如圖（4），已知三角形abc的兩邊ab、ac上的中線分別為bd、ce，若bd=ce．求證：ab=ac
分析：已知的兩條相等的中線在圖中交叉擺著，我們試把它安排在乙個三角形中就比較好考慮，於是設想把其中的一條中位線ce平行移動到df位置，這樣就成了乙個等腰三角形dbf，立即得到∠1=∠f=∠2，從而得到gb=gc，gd=ge．要證be=cd就簡單了
三旋轉法
「在歐氏平面上把一點p繞一定點旋轉一定角變到另一點p′，如此產生的變換叫做旋轉變換，簡稱旋轉．此定點叫做旋轉中心，定角叫做旋轉角．」旋轉後的圖形與原來的圖形全等．用這種想象來啟示我們去作輔助線．這種方法能夠集中條件，擴大已知，圖形之間易於聯絡，呼應，達到較順利論證的目的．
旋轉要利用角或邊的相等，因此在正三角形、正方形、正多邊形應用較常見．
例5 如圖（5）,在正方形abcd中,∠ebf=45°,e、f分別在ad和dc上．求證：ef=ae+fc
分析：因為要證明ef=ae+fc，可設想將ae、fc放在同一直線上，再與ef比較．而已知條件給了正方形，即各邊相等，四個角是直角，於是，可嘗試把rt△bcf（或rt△bae）以b為中心逆時針（或順時針）旋轉90°．可得：rt△abf′≌rt△cbf，則bf′=bf，af′=cf，∠1=∠2．
則：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠ebf=45°
所以∠ebf′=∠ebf，而be是公共邊，故△bef′≌△bef，則ef=ef′=ae+af′=ae+fc，即可得證．
例6 如圖（6），在等邊△abc外取一點p，如果pa=pb+pc，那麼p、a、b、c四點共圓．
分析：在四點共圓的判斷中，其中有一條是」對角互補的四邊形內接於圓」 ．因此，可嘗試∠bpc+∠bac是否等於180°．而題目中給了條件△abc是等邊三角形，即三邊相等，三
個角都是60°，可設想把△bpc以點c為中心按順時針旋轉60°，可得△ap′c≌△bpc，則
pb=p′a，pc=p′c，∠a p′c=∠bpc，而∠pcp′=60°，故△pcp′是等邊三角形，則∠1=60pp′=pc，
∵pa= pb+pc
∴pa= p′a+ pp
∵a、p′、p三點共線
∴∠a p′c+∠1=180°
又∵∠bac=60°=∠1
∴∠bpc+∠bac=180
故p、a、b、c四點共圓圖（6）
四位似法（放縮法
如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同乙個點,對應邊互相平行（或共線），那麼這樣的兩個圖形就叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比．
位似變換的設想，是把其中的乙個圖形（它經常是某一線段）看成是由另乙個圖形按位似比放大或縮小而得的．把欲證的線段變為易證的線段，或者通過擴大或縮小，讓有關線段組成乙個新的圖形．比較多的是遇到「中點」、「三等分點」、「內、外分線段成某比」等題設時，用位似擴大或縮小法集中條件，而後加以論證．
例7 如圖（7），abcd為任意四邊形，e、f、g、h分別為ab、bc、cd、da的中點，m、n分別為對角線bd、ac的中點．
求證：eg、hf同過mn的中點．
分析：欲證的三條線段在圖中的關係不甚 「密切」，我們試圖把它們安排得較易聯絡一些，由於題中很多中點，隨便選擇乙個頂點比如a作位似中心，按位似比k==把邊bc縮小，自然就要連en，得到enbc，用相同的辦法就組成了乙個易於思考的平行四邊形了．
例8 三個等圓o、o、o相交於點s，位於已知三角形abc內，每個圓與△abc兩邊相切．證明：△abc的內心i、外心o與點s共線．
分析：這個問題直接論證是比較困難的，因為不容易一下子抓住o、s、i之間的聯絡，但從圖形的直觀上看△有可能與△abc位似．事實上，易知，
∥，∥，∥，
所以== （為內心，即、、之交點）．
於是由知s為△之外心，即s與o為位似變換下的對應點，故i、o、s共線．
五其他構造法
當我們按照某種既定的思路解題時，有時必須用到某種圖形，而這種圖形並未在原圖**現，這時就要構造這種圖形來使證題順利進行．構造、補全基本圖形也是作出輔助線的基本方法，它是出於對幾何圖形整體的把握作出輔助線的．許多常見的輔助線（如等邊三角形、直角三角形、正方形，兩圓相交時的公共弦、連心線、圓的切線問題中過切點的半徑等）都體現了這種想法．
巧添輔助線妙解圓問題
與圓有關的輔助線常規作法解析 唐偉鋒與圓有關的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質，題型的複雜程度可想而知。為此，常常需要新增適當的輔助線將複雜的圖形轉化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解並掌握圓中有關計算或證明題的一般解法，現就圓中輔助線的常規作法分類總結如下，供同學們學...
2分析條件,添輔助線
2 從條件入手 添輔助線 1 中點 一條線段被另一條線段平分 過被平分線段端點向平分它的直線作垂線 一對平行線 倍長中線構造全等三角形 或平行四邊形 取線段中點後與已知點連線，構造中位線 直角三角形斜邊上的中線等。2 角平分線 利用 角平分線到角兩邊的距離相等 這一性質作垂線，構造相等的線段 全等三...
初中幾何輔助線做法
7 延長兩腰使之相交 四 在解決圓的問題中 1 兩圓相交連公共弦。2 兩圓相切，過切點引公切線。3 見直徑想直角 4 遇切線問題，鏈結過切點的半徑是常用輔助線 5 解決有關弦的問題時，常常作弦心距。輔助線作法 一 與中線有關的輔助線作法 題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點鏈...