——與圓有關的輔助線常規作法解析
唐偉鋒與圓有關的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質，題型的複雜程度可想而知。為此，常常需要新增適當的輔助線將複雜的圖形轉化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解並掌握圓中有關計算或證明題的一般解法，現就圓中輔助線的常規作法分類總結如下，供同學們學習時參考——
一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直於弦的半徑或直徑，有時還要鏈結過弦端點的半徑）
例1.如圖，以rt△abc的直角頂點a為圓心，直角邊ab為半徑的⊙a分別交bc、ac於點d、e, 若bd=10cm，dc=6cm，求⊙a的半徑。
解：過a作ah⊥bd於h，則。
∵ba⊥ac，∴∠cab=∠ahb=90°。又∵∠abh=∠cba，∴△abh∽△cba，∴，∴，∴。
例2.如圖，ab是⊙o的直徑,po⊥ab交⊙o於點p，弦pn與ab相交於點m，求證：。
證明：過o作oc⊥np於點c，則。
∵oc⊥np，po⊥ab，∴∠pom=∠pco=90°。又∵∠opm=∠cpo，∴△opm∽△cpo，∴，∴，即。
評析：求解圓中與弦有關的問題，常需作弦心距（即垂直於弦的直徑或半徑），其目的是構造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，並利用垂徑定理來溝通弦、弧、弦心距之間的聯絡。
二、圓中有直徑，常作直徑所對的圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對的圓周角）
例3.如圖，ab為半圓的直徑，oh⊥ac於h，bh與oc交於e，若bh=12，求be的長。
解：鏈結bc。
∵ ab為直徑，∴ ac⊥bc。又∵oh⊥ac，ao=bo，∴ ohbc，∴ ∠ohe=∠cbe，∠hoe=∠bce，∴△ohe∽△cbe，∴，∴。
例4.如圖,ab是半圓的直徑, c為圓上的一點, cd⊥ab於d, 求證:。
證明：鏈結ac、bc。
∵ ab為直徑，∴ ∠acb=90°，∴∠1+∠2=90°。又∵cd⊥ab，∴∠adc=∠cdb=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△bcd∽△cad，∴，即。
評析：由於直徑所對的圓周角為直角，所以在有關圓的證明或計算問題中，利用該性質極易構造出直角三角形，從而可以很方便地將問題轉化到直角三角形中進行解決。
三、圓中有切線，常作過切點的半徑（若無切點，則過圓心作切線的垂線）
例5.如圖，已知mn為⊙o的直徑，ap是⊙o的切線，p為切點，點a在mn的延長線上，若 pa=pm，求∠a的度數。
解：鏈結op，設∠a的度數為x。
∵pa=pm，∴∠m=∠a，同理可得∠opm=∠m，∴∠poa=∠opm+∠m=2∠m=2∠a=2x。又∵ap切⊙o於點p，∴ap⊥op，∴∠a+∠poa=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠a=30°。
例6.如圖,ab為⊙o的直徑,c為⊙o上的一點,ad和過c點的切線垂直,垂足為d，求證∠1=∠2。
證明：鏈結oc。
∵dc切⊙o於點c，∴oc⊥dc。又∵ad⊥dc，∴oc∥ad，∴∠1=∠3。∵oa=oc,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。
評析：當欲求解的問題中含有圓的切線時，常常需要作出過切點的半徑，利用該半徑與切線的垂直關係來溝通題設與結論之間的聯絡。
四、圓中有特殊角，常作直徑構造直角三角形（若題中有三角函式但無直角三角形，則也需作直徑構造直角三角形）
例7.如圖, 點a、b、c在⊙o上（ac不過o點），若∠acb=60°,ab=6，求⊙o半徑的長。
解：作直徑ad，鏈結bd。
∵∠acb與∠d都是所對的圓周角，∴∠d=∠acb=60°。又∵ad是直徑，∴∠abd=90°，∴，∴。
例8.如圖，在銳角△abc中，若bc=a，ca=b，ab=c，△abc的外接圓半徑為r，求證：。
證明：作直徑cd，鏈結bd。
∵cd為直徑，∴∠cbd=90°，∴。又∵∠a=∠d，∴，即，同理可得，，∴。
評析：當題設中未告訴有直角三角形但卻含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某個角的三角函式值時，通常需要作直徑構造直角三角形來幫助求解。
五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）
例9.如圖，⊙o1和⊙o2外切於點a，bc是⊙o1和⊙o2外公切線，b、c為切點，求證：ab⊥ac。
證明：過點a作⊙o1與⊙o2的公切線am交bc於點m。
∵ma和mb分別切⊙o1於點a、b，∴ma=mb，同理可得ma=mc，∴ma=mb=mc，即點a、b、c同在以m為圓心，bc為直徑的圓周上，∴ab⊥ac。
例10.如圖，⊙a和⊙b外切於點p，cd為⊙a、⊙b的外公切線，c、d為切點，若⊙a與⊙b的半徑分別為r和3r,求：⑴cd的長；⑵∠b的度數。
解：鏈結ab，鏈結ac、bd，過點a作ae⊥bd於e。
⑴、∵cd是⊙a和⊙b的外公切線，c、d為切點，∴ac⊥cd，bd⊥cd。又∵ae⊥bd，∴四邊形acde為矩形，∴cd=ae，de=ac=r，∴be=bd-de=3r-r=2r。∵ab=r+3r=4r，∴。
⑵、在rt△aeb中，∵，∴∠b=60°。
評析：在解決有關兩圓相切的問題時，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直於經過切點的半徑、切線長相等、連心線長等於兩圓半徑之和（或差）等性質來溝通兩圓間的聯絡。
六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線）
例11.如圖，⊙o1和⊙o2相交於a、b兩點，ad是⊙o1的直徑，且圓心o1在⊙o2上，鏈結db並延長交⊙o2於點c，求證：co1⊥ad。
證明：鏈結ab。
∵ ad為⊙o1的直徑，∴∠abd=90°，∴∠d+∠bad=90°。又∵∠c和∠bao1都是⊙o2中所對的圓周角，∴∠c=∠bao1，即∠c=∠bad，∴∠d+∠c=90°，∴co1⊥ad。
例12.如圖，⊙o1和⊙o2相交於a、b兩點，兩圓半徑分別為和，公共弦ab的長為12，求∠o1ao2的度數。
解：鏈結ab、o1o2，使之交於h點。
∵ab為⊙o1與⊙o2的公共弦，∴連心線o1o2垂直平分ab，∴，∴，，∴∠o1ah=45°，∠o2ah=30°，∴∠o1ao2=∠o1ah+∠o2ah=75°。
評析：在解決有關兩圓相交的問題時，最常見的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可以聯通兩圓中的弦、角關係，而連心線則垂直平分公共弦。
巧添輔助線解初中平面幾何問題
摘要 在解幾何問題時中，有時不能直接找到已知條件與未知之間的關係，因此需要新增輔助線使隱蔽的重要條件顯現出來，使分散的條件集中起來，溝通已知與未知之間的聯絡 全等變換就是一種重要的作輔助線的方法，它可以用運動的觀點，使圖形通過對折 平移 旋轉 位似得到與原圖全等的圖形，或根據需要構造必要的圖形，而新...
2分析條件,添輔助線
2 從條件入手 添輔助線 1 中點 一條線段被另一條線段平分 過被平分線段端點向平分它的直線作垂線 一對平行線 倍長中線構造全等三角形 或平行四邊形 取線段中點後與已知點連線，構造中位線 直角三角形斜邊上的中線等。2 角平分線 利用 角平分線到角兩邊的距離相等 這一性質作垂線，構造相等的線段 全等三...
圓輔助線的常用做法
圓的輔助線作法 在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要新增輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養學生的創造性思維。新增輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦，可作弦心距 在解決與...