圓中常用輔助線（4）
——公切線
作者：風之痕
2018-9-22
圓是中考的重點，也是初中幾何學習中最大的難點. 該如何去學習這一章呢？如果整章去講，內容涉及面廣，學生接受起來依然很困難.
所以我們把圓的問題分解，再對它們逐個「攻破」. 先來給大家講講新增輔助線的技巧.
輔助線的新增向來是同學們比較頭疼的問題，尤其到了圓這一章，問題更綜合，思考方向更多，但是輔助線的新增還是有其自身的特點的. 所以我用四個小專題來幫同學們把圓中常用的輔助線作個歸納總結. 本文是之四：
公切線.
新增公切線的條件很容易判斷，因為只有出現兩圓相內切或者相外切時才有公切線.雖然它的出現很自然，但是它是解決兩圓相切問題的乙個最常用而又最強有力的工具. 同學們在遇到兩圓相切的問題時，如果能夠自然想到新增兩圓的公切線，那麼你對題目的解答可以說就有一半的把握了.
那麼公切線的作用又是什麼呢？我們通過體驗題來體會.
體驗1看題如圖,已知⊙o與⊙o′相切於p點，過p作直線分別交⊙o，⊙o′於a，b兩點，ef分別切⊙o，⊙o′於e，f兩點，ae與bf的延長線交於點c，求證：ac⊥bc.
析題作兩圓的公切線，充分發揮了弦切角的橋梁作用，這是解兩圓相切問題的關鍵所在. 連pe，pf，過p作兩圓公切線l，則∠epf=90°，而∠epf=∠a+∠b，從而∠a+∠b=90°.
提示這裡，切點e，f，p構成乙個很有用的「切點三角形」，從而有以下結論：（1）ep⊥fp；（2）內公切線平分外公切線；（3）fp的延長線交⊙o於f′點，
則ef′為⊙o的直徑.
體驗2看題如圖, ⊙o1與⊙o內切於點a，△abc內接於⊙o，ab，ac分別交⊙o1於點e和f，bd切⊙o1於點d，且fd是⊙o1的直徑，延長fe交bd於點h，求證：ef∥bc.
析題欲證ef∥bc，只需證∠aef=∠abc，它們分別是兩圓的圓周角，若連a作兩圓的公切線mn，則這兩弦切角均等於弦切角∠nac，故可知它們相等.
體驗3看題如圖，⊙o和⊙o′外切於點p，ab是外公切線，a、b是切點，ap的延長線交⊙o′於c，cd切⊙o於d.求證：bc=cd.
析題過p點作兩圓的公切線交ab於e，鏈結pb，有be=ep，ea=ep.
從而得∠apb=90°，由此，易得△cbp∽△cab ，得bc2=cp·ca
而cd2=cp·ca（切割線定理）.
通過三道體驗題，我們發現公切線的用處了吧？對，就是聯絡兩圓的圓周角之間的等量代換. 常常要用到的知識：
1． 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角（如體驗1，2）；
2． 圓外一點作圓的兩條切線，所得切線長相等（如體驗3）.
記住公切線，解相切兩圓的問題時你就會游刃有餘啦~~
趕快試試吧~~~~
課後實踐1
看題已知：如圖，兩圓內切於點p，大圓的弦ab切小圓於點c，pc的延長線交大圓於點d．求證：∠apd=∠bpd.
課後實踐2
看題如圖，設⊙o1、⊙o2外切於a外公切線bc分別切兩圓於b、c交o1o2於p，若⊙o1的半徑為3r，⊙o2的半徑為r.
(1)求證：pa2=pc·pb；
(2)求cos∠p的值.
【課後實踐提示】
1．過p作兩圓的公切線mn，∴∠npc=∠bcp
2．(1)作⊙o1和⊙o2的內公切線ae交bc於e，鏈結ab、ac，如圖
∴ec=ea=eb，∴∠cab=90°，ea是過b、a、c三點的圓的半徑.
又ea⊥o1o2於a，∴pa是⊙e的切線，a為切點，∴pa2=pc·pb.
(2)鏈結o2c、o1b，過o2作o2d⊥o1b於d
證明co2db為矩形，令o1b=3r，o2c=r
∴o1d=2r，o1o2=4r
do2=
∴cos∠p=cos∠do2o1=.
由於時間關係，本文難免有些瑕疵，若有不足，敬請指出。
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