注意梯形割與補,巧變成為□和△.基本圖形如下:
1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉移到乙個三角形中,同時還得到平行四邊形．
【例1】已知：如圖2,在梯形abcd中,.求證：.
【例2】如圖,在梯形abcd 中,ad∥bc , e、f 分別是ad 、bc 的中點,若 .ad = 7 ,bc = 15 ,求ef ．
2.延長梯形的兩腰,使它們交於一點,可得到兩個相似三角形或等腰三角形、直角三角形等進一步解決問題．
【例3】.如圖,在梯形中, , ,梯形的面積與梯形的面積相等．求證： .
3.從梯形上底的兩端向下底引垂線作高,可以得到乙個矩形和兩個直角三角形．然後利用構造的直角三角形和矩形解決問題．
【例4】.如圖,在梯形中,.求證：.
4.平移一條對角線一般是過上底的乙個端點作一條對角線的平行線,與另一底的延長線相交,得到乙個平行四邊形和三角形,把梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題解決．
【例5】.如圖,等腰梯形中, , ,且 , 是高, 是中位線,求證： ．
【例6】.已知：如圖,在梯形中, .求證：梯形是等腰梯形.
5.遇到梯形一腰中點的問題可以作出梯形的中位線,中位線與上、下底都平行,且三線段有數量關係. 或利用「等積變形」,鏈結梯形上底一端點和另一腰中點,並延長與下底延長線交於一點,構成三角形解決問題．
【例7】.已知：如圖4,在梯形中, 是的中點,且 .求證：.
【例8】.已知：梯形 abcd中ad bc,e為ab中點,且ad＋bc=dc , 求證：de⊥ec,de平分∠adc,ce平分∠bcd．
6.當遇到以上的梯形輔助線新增後不能解決問題時,可以特題特解,結合具體問題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問題.比如可將對角線繞中點旋轉 、利用一腰中點旋轉、將梯形補成平行四邊形或三角形問題.
【例9】.已知：如圖5,在梯形abcd 中, m、n分別是bd 、ac 的中點.求證： .
【例10】.如圖,梯形中, , 、 分別平分和 , 為中點,求證： ．
【例11】.已知：如圖,在梯形中, 是cd的中點.求證：.
【例12】.如圖,梯形中, , 為腰的中點,求證： .
l.分析:平移一腰bc到de,將題中已知條件轉化在同一等腰三角形中解決,即ab=2cd.
x證明：過d作 ,交ab於e.
∵ ab平行於cd,且 ,∴四邊形是菱形.
∴ 又∴ 為等邊三角形.
∴ 又 ,∴∴.
2.分析：由條件 ,我們通過平移ab 、dc ；構造直角三角形men ,使ef 恰好是△men 的中線．
解：過e 作em∥ab ,en ∥dc ,分別交bc 於m 、n ,∵ ,
∴∴ 是直角三角形,∵ , ,
分別是 、 的中點,
∴ 為的中點,∴ .
3.分析：條件是兩個梯形的面積相等,而結論是三線段長的平方關係,如果延長兩腰交於一點,就可得到三個相似的三角形,再利用相似三角形的面積比與相似比的關係變形就可得出結論．
證明：延長 、 使它們相交於點,
∵ ,∴
∴ .
同理, ∵
故得 ∴ 此題僅做參考
4.分析:過上底向下底作兩高,構造rt△,然後利用兩三角形全等解決問題.
證明：分別過d、c、作ab的垂線,垂足分別為e、f.
∵ ,∴ .又 ,
∴ ≌ .∴
5分析：由梯形中位線性質得 ,欲證 ,只要證 ．過點作 ,交的延長線於 ,就可以把 、 和移到三角形中,再證明等式成立就簡單多了．
證明：過點作交的延長線於點 ,則四邊形是平行四邊形．∴ ,
∵ 四邊形是等腰梯形∴ ,∴
又∵ ,∴
又∵ ,∴ .
6.證明：過d作 ,交ba延長線於e.則四邊形是平行四邊形.
∴.∴ 又 ,∴
於是,可得 ∴ ∴梯形abcd是等腰梯形.
7.證明：取的中點f,鏈結fe.則 ∵ ,
∴.∴.
8.∴ef∥ad∥bc ef=(ad＋bc) ∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵dc=ad＋bc
∴ef=dc=df=cf ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6 ∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180° ∴∠1＋∠3=90° ∴de⊥c,de平分adc,ce平分∠cd
證法2：延長ce與da延長線交於一點f,過程略．
證法3：在dc上擷取df=ad,鏈結af、bf、ef解決.
9. 證明：鏈結並延長 ,交於e.則 .
∴ 又n是ac的中點, ∴ ,
故取一腰的中點,鏈結頂點和這個中點並延長與對邊的延長線相交,可得兩個全等三角形．分析：要證明 ,可以利用為中點,延長與的延長線交於 , ,得到 ,再證明即可．
10.證明：延長 、 交於點 f,顯然 ．
∴ , . 又∵ ,
是線段的垂直平分線．
∴ ,∴ .
評注：新增輔助線後,溝通了 、 與的
11.證明：延長ae、bc相交於點f.易證.
∴ ,∵ ,
∴ 即 .
∴be是等腰底邊上的高.
∴ .12.說明：
在圖5中, 相當於由繞點e旋轉得到；在圖6中,分析： 與梯形abcd的面積關係不明顯,如果利用梯形助特點把它補成如圖7的平行四邊形,它們之間的關係就清晰了．梯形補成平行四邊形,各種關係明顯、直觀,解題思路清晰．
證明：延長 ,使 ,延長 ,使 ；則 ,則四邊形是平行四邊形． 為的中點,鏈結 , 與交於點 .鏈結 、 ,則 .
∵ , 是中點, ∴ 為中點且是中點．
∴四邊形是平行四邊形,∴ ,∴
是由繞點e旋轉得到.
梯形中常見輔助線的作法
一 平移一腰，轉化為三角形 平行四邊形 二 作高，轉化為兩直角三角形和一矩形 三 平移一對角線，轉化為三角形 平行四邊形 四 連線一頂點與一腰的中點，構造全等三角形 五 延長兩腰，轉化為三角形 1.如圖所示，在梯形abcd中，ad bc，ab 8，dc 6，b 45 bc 10，求梯形上底ad的長....
初中常見輔助線作法
歌訣篇人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加專研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形...
幫你總結梯形輔助線
常見的梯形輔助線基本圖形如下 1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰 兩底角等轉移到乙個三角形中,同時還得到平行四邊形 例1 已知 如圖2,在梯形abcd中,求證 例2 如圖,在梯形abcd 中,ad bc e f 分別是ad bc 的中點,若 ad 7 bc 15 求ef 2.延長梯形的兩腰,使它們交...