§4.5梯形（2）——常見輔助線的做法學案
【學習目標 】學會用新增輔助線的方式將梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題求解。
【學習重點、難點 】 用適當的方法新增輔助線
【學習過程】
一、自學例題，探索規律：
例1：如圖所示，已知等腰梯形的銳角等於60°，它的兩底分別為15cm和49cm，則它的腰長為
總結：本題新增輔助線的方法是
例2：如圖，在梯形abcd中，ad//bc，∠b=50°，∠c=80°，ad=2，bc=5，求cd的長。
總結：本題新增輔助線的方法是
例3：在梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，若ad=2，bc=8，bd=6，求對角線ac的長.
總結：本題新增輔助線的方法是
2、課堂檢測：
1.等腰梯形上、下底差等於一腰的長，那麼腰長與下底的夾角是（ ）.
a.5° b.60° c.45° d.30°
2.梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，若bd=3，ac=4，求該梯形中位線長度.
3.如圖16-3-7，梯形abcd中，ab∥cd，且bm⊥cm，m是ad的中點，試說明ab+cd＝bc
4.在梯形abcd中，ad∥bc，∠bad=90°，e是dc上的中點，連線ae和be，求∠aeb=2∠cbe。
3、知識歸納：梯形常見輔助線做法
【學習反思】
】 【知識回顧】
知識點1 梯形的概念
梯形是學生已經認識的平面圖形，之所以放在平行四邊形這一章，主要是考慮到梯形經常通過劃分成乙個平行四邊形與—個三角形來解決有關問題．
等腰梯形、直角梯形、梯形的定義是它們的特徵，同時也可以作為識別方法，當判定乙個梯形時，判定兩邊不平行常有困難，可以用判定平行的兩邊不相等的方法．
梯形與平行四邊形均是特殊的四邊形，它們之間的區別是平行四邊形的兩組對邊平行。梯形只有一組對邊平行，而明確要求另一組對邊不平行．實際上平行四邊形要求一組對邊平行且相等．梯形要求一組對邊平行但不相等，所以判定乙個四邊形是梯形，即要說明一組對邊平行，且它們不相等．
知識點2 解決梯形問題的基本思路
常用輔助線為圖16-3-1．
知識點3 等腰梯形的特徵及識別
(1)特徵：①兩底平行，兩腰相等；
②同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補；
③兩條對角線相等；
④是軸對稱圖形．
對於這些結論的得出，應引導學生通過測量、歸納與猜想來探索認識，從中體會科學發現的方法．
(2)識別①定義；
②同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；
③對角線相等的梯形是等腰梯形．
說明：等腰梯形同一底邊上的兩個內角相等，不能說成「等腰梯形兩底角相等」．
剖析經典例題
題型一梯形的有關計算
例1 如圖16-3-2，梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝70°，∠c＝40°，ad＝6cm，bc＝15cm，求cd長．
分析：關鍵是作出輔助線，將線段ad平移到bc上，再利用角度的關係找到dc=ec
解：過d作ed∥ab交bc於e，則∠dec＝∠b，
∵四邊形abed是平行四邊形，ad＝be，
∵∠b＝70°，∠dec＝70°．
∵∠c＝40°，∴∠edc＝180-∠dec-∠c＝70°，
∴∠dec=∠edc＝70°，∴cd＝ce．
又∵ce＝bc-be=bc—ad＝15—6＝9．∴cd＝9(cm)．
反思：梯形常通過作輔助線分成—個平行四邊形和—個三角形．
例2 如圖16-3-3，等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝cd，對角線ac⊥bd，ad＝4cm，bc＝10cm，求梯形的面積．
分析：欲求梯形面積必須先求高，根據已知對角線，可以作輔助線構造平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形和三角形的知識來解決問題．
解：過d作df∥ac交bc的延長線於f，作de⊥bc於e．
∵四邊形acfd是平行四邊形，∴df＝ac, cf＝ad＝4．
∵ac⊥bd，ac∥df，∴∠bdf＝∠boc＝90°．
∵ac＝bd，∴bd＝df，∴bf＝bc+cf＝14，de＝÷bf＝7．
反思：作對角線的平行線把梯形轉化成平行四邊形是常見的引輔助線方法．同時梯形的面積也等於△dbf的面積．
例3 等腰梯形的兩底之差為8，高為4，則等腰梯形的銳角為( )
a．30° b. 45° c．60° d．75°
分析：如圖16-3-4，關鍵是作輔助線，將ad平移到bc上。即cf＝8，由於等腰△cdf．de是高，所以ce=4．
所以△cde是等腰直角三角形．
故∠c=45°．
解：選b．
拓展創新應用
題型一拓展與創新
例1 梯形上、下底長分別是2cm和7cm，一腰長為3 cm，則另一腰x的長度取值範圍是 ．
分析：如圖16-3-5：要求cd的取值情況，需先將梯形分成平行四邊形與三角形，所以可求得df＝3，ec＝5，故x的範圍可在△cde中求出．
解：填2cm＜x＜8cm
例2 如圖16-3-6，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，e為梯形內一點，且ea＝ed，試說明eb＝ec．
分析：充分利用等腰梯形的對稱性來解決此題特別方便．
解：作ad的垂直平分線gf．
∵四邊形abcd是等腰梯形，∴ef是梯形abcd的對稱軸．
∵ea＝ed．
∴點e在對稱軸gf上，b、c是關於gf的—組對稱點，
∴eb＝ec．
例3分析：關鍵是將ab、cd轉化到一條直線上去，再通過中心對稱的知識將問題解決．
解：延長bm交cd延長線於n點．
∵m是ad的中點，ab∥cd，∴△abm與△dnm關於點m成中心對稱，
∴ab＝dn，mb＝mn，∵bm⊥cm，∴cb＝cn，cd+nd＝bc
∵ab＝dn，∴ab+cd＝bc．
反思：遇到梯形腰的中點，往往鏈結頂點與一腰的中點並延長交底的延長線於一點，構成中心對稱的兩個三角形．
題型二實踐應用
分析：本題考查梯形的性質、直角三角形及矩形．
解：作ae⊥cd於e，bf⊥cd於f，
∵ab∥cd，則abfe為矩形．
∵四邊形abcd是等腰梯形．bc=ad，
∴△bcf與△ade能重合，∴cf=de．
又∵∠c＝45°，∴bf＝cf=de，
題型三**開放
分析：在梯形中，設bc＝2x，則ab＝ad＝dc＝x，容易得∠b＝∠c＝60°，由於分成的是四邊形，並且大小、形狀完全一樣，因此可以作出梯形兩腰中點的連線，再進行分割．
作法：(1)作ab、cd的中點e、f，鏈結ef；
(2)作ef的三等分點m、n；
(3)作出bc的四等分點，g、h、o；
(4)鏈結am、mg、dn、nh，則四邊形abgm,amnd、dnhc、mnhg是符合條件的四個四邊形，如圖16-3-10所示．
聚焦中考熱點
1 命題方向
本節主要考查梯形的特徵與識別，會把梯形問題轉化成三角形和平行四邊形問題．在中考中以填空、選擇題出現，還常和三角形、四邊形一起以綜合題的形式出現．
2 熱點考題舉例
例1 (2004·黑龍江)若等腰梯形的三邊長分別為3，4，11，則這個等腰梯形的周長為( )
a. 21 b. 29
c．21或29 d. 21或22或29
分析：本題需進行討論，確定另一條邊，事實上3，3，4，11和4，4，3，11都不能組成梯形，只有11，11，3，4一種情況，故選d．
解：選a
例2 (2004·河南)如圖16-3-11，在梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac⊥bd，且ac＝12，bd＝9，則此梯形的中位線是( )
分析：四邊形問題在不能得到直接解決時。可以轉換為三角形問題解決．
學科綜合實踐應用創新題
一、學科綜合題
例l (學科內綜合)梯形的上、下底的長是16cm，23cm，—腰長為20cm，另一腰長為x cm，求x的取值範圍．
解：平移一腰得平行四邊形和三角形，三角形是由兩底差和兩腰構成的，根據三角形三邊關係，所以有20-7＜x＜20+7，即13＜x＜27．
二、實踐應用題
例2 如圖16-3-13，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ad＝24 cm，bc＝26 cm，動點p從a開始沿ad邊以1 cm／s的速度向d運動，動點q從c開始沿cb邊以3cm／s的速度向b運動，p、q分別從點a、c出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t，則t為何值時，四邊形pqcd為平行四邊形?t為何值時，四邊形pqcd為等腰梯形?
解：(1)要使pqcd為平行四邊形，已有pd∥cq，而pd＝24-t，cq＝3t，得24-t＝3t，t=6，所以當t＝6s時，pqcd為平行四邊形．
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