梯形中常見輔助線的作法.
梯形是一種特殊的四邊形，在解決有關梯形的問題時，常常需要借助輔助線，將其分割、拼接成三角形、矩形或平行四邊形等問題來解決. 常見的幾種輔助線的作法如下：
一、平移
1、平移一腰：從梯形的乙個頂點作一腰的平行線，把梯形轉化為乙個三角形和乙個平行四邊形。
［例1］梯形abcd的上底ab=3，下底cd=8，腰ad=4，求另一腰bc的取值範圍。
2、平移兩腰：利用梯形中的某個特殊點，過此點作兩腰的平行線，把兩腰轉化到同乙個三角形中。
［例2］在梯形abcd中，ad//bc，∠b＋∠c=90°，ad=1，bc=3，e、f分別是ad、bc的中點，連線ef，求ef的長。
3、平移對角線：過梯形的乙個頂點作對角線的平行線，將已知條件轉化到乙個三角形中。
［例3］在等腰梯形abcd中，ad//bc，ad=3，bc=7，bd=，求證：ac⊥bd。
【變式1】（平移對角線）已知梯形abcd的面積是32，兩底與高的和為16，如果其中一條對角線與兩底垂直，則另一條對角線長為
［例4］在梯形abcd中，ad//bc，ac=15cm，bd=20cm，高dh=12cm，求梯形abcd的面積。
二、延長
即延長兩腰相交於一點，可使梯形轉化為三角形。
［例5］在梯形abcd中，ad//bc，∠b=50°，∠c=80°，ad=2，bc=5，求cd的長。
【變式2】如圖所示，四邊形abcd中，ad不平行於bc，ac＝bd，ad＝bc. 判斷四邊形abcd的形狀，並證明你的結論.
變式2變式3
【變式3】（延長兩腰）如圖，在梯形中，，，、為、的中點。
三、作對角線
即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。
［例6］在直角梯形abcd中，ad//bc，ab⊥ad，bc=cd，be⊥cd於點e，求證：ad=de。
四、作梯形的高
1、作一條高，從底邊的乙個端點作另一條底邊的垂線，把梯形轉化為直角三角形或矩形。
［例7］如圖7，在直角梯形abcd中，ab//dc，∠abc=90°，ab=2dc，對角線ac⊥bd，垂足為f，過點f作ef//ab，交ad於點e，求證：四邊形abfe是等腰梯形。
圖72、作兩條高：從同一底邊的兩個端點作另一條底邊的垂線，把梯形轉化為兩個直角三角形和乙個矩形。
［例8］在梯形abcd中，ad為上底，ab>cd，求證：bd>ac。
【變式4】abcd是梯形， ad∥bc， ad＜bc，ab=ac且ab⊥ac，bd=bc，ac，bd交於o.求∠bcd的度數．
【變式5】直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，∠adc=135°，cd的垂直平分線交bc於n，交ab延長線於f，垂足為m．求證：ad=bf．
【變式6】直角梯形abcd中，∠c=90°，ad∥bc，ad+bc=ab，e是cd的中點．若ad=2，bc=8，求△abe的面積．
【變式7】（過頂點作高）已知ab=bc，ab∥cd，∠d=90°，ae⊥bc．求證：cd=ce．
五、作中位線
1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。
［例9］如圖9，在梯形abcd中，ab//dc，o是bc的中點，∠aod=90°，求證：ab＋cd=ad。
2、已知梯形兩條對角線的中點，連線梯形一頂點與一條對角線中點，並延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。
［例10］在梯形abcd中，ad//bc，e、f分別是bd、ac的中點，求證：（1）ef//ad；（2）
【變式8】 等腰梯形abcd中，ab∥cd，對角線ac，bd所成的角∠aob=60°，p，q，r分別是oa，bc，od的中點．求證：△pqr是等邊三角形．
【變式9】（過一腰中點作底邊平行線——構造中位線）已知梯形abcd中，ad∥bc，∠abc的平分線過cd的中點e．
3、在梯形**現一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。
例10、在梯形abcd中，ad∥bc， ∠bad=900，e是dc上的中點，連線ae和be，求∠aeb=2∠cbe。
【變式10】e是梯形abcd中腰dc上的中點，
【方法總結】
在解決梯形的有關問題時常用的思想是轉化的思想，是通過作輔助線把梯形分割、拼接成我們所熟悉的三角形（尤其是rt△），矩形、平行四邊形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四邊形和矩形的性質來解決問題.
型別二：不新增輔助線（多數與全等、面積、梯形中位線有關係）
1、已知：四邊形abcd為矩形，四邊形abde為等腰梯形，。求證：
【變式1】如圖，已知：在梯形abcd中，，ac、bd相交於點o. 求證：.
變式1變式2
說明本題中，我們也可以用和的面積相等，推出和的面積相等，等底等高的性質在證明三角形及四邊形的面積問題時，起關鍵作用.
【變式2】如圖，已知：ad是的平分線，，，.
（1）求證：四邊形adce是等腰梯形.
（2）若的周長為，求四邊形adce的周長.
說明：等腰梯形的判定，一般是先判定乙個四邊形是梯形，然後再由「兩腰相等」或「同一底上的兩個角相等」來判定它是等腰梯形，要判定乙個四邊形是梯形時，判定一組對邊不平行常常有困難，所以可用判定平行的兩邊不相等的方法來解決．
【變式3】如圖2-43所示．在直角三角形abc中，e是斜邊ab上的中點，d是ac的中點，df∥ec交bc延長線於f．求證：四邊形ebfd是等腰梯形．
【模擬試題】
1. 如圖，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝60°，ad＝2，bc＝8，則此等腰梯形的周長為（ ）
a. 19b. 20c. 21d. 22
選擇2選擇3
**2. 如圖所示，ab∥cd，ae⊥dc，ae＝12，bd＝20，ac＝15，則梯形abcd的面積為（ ）
a. 130 b. 140 c. 150 d. 160
*3. 如圖所示，在等腰梯形abcd中，已知ad∥bc，對角線ac與bd互相垂直，且ad＝30，bc＝70，求bd的長.
題3題4題5
4. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等於60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.
5. 如圖所示，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，ad＋bc＝10，de⊥bc於e，求de的長.
6. 如圖所示，梯形abcd中，ab∥cd，∠d＝2∠b，ad＋dc＝8，求ab的長.
題6題7
**7. 如圖所示，梯形abcd中，ad∥bc，（1）若e是ab的中點，且ad＋bc＝cd，則de與ce有何位置關係？（2）e是∠adc與∠bcd的角平分線的交點，則de與ce有何位置關係？
【鞏固練習】
1. 若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為cm.
2. 如圖所示，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝60°，ad＝2，bc＝8，則此等腰梯形的周長為（ ）
a. 19b. 20c. 21d. 22
題2題3
3. 如圖所示，ab∥cd，ae⊥dc，ae＝12，bd＝20，ac＝15，則梯形abcd的面積為（ ）
a. 130 b. 140 c. 150 d. 160
4. 如圖所示，在等腰梯形abcd中，已知ad∥bc，對角線ac與bd互相垂直，且ad＝30，bc＝70，求bd的長.
5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等於60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.
6. 如圖所示，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，ad＋bc＝10，de⊥bc於e，求de的長.
7. 如圖所示，梯形abcd中，ab∥cd，∠d＝2∠b，ad＋dc＝8，求ab的長.
8. 如圖所示，梯形abcd中，ad∥bc，（1）若e是ab的中點，且ad＋bc＝cd，則de與ce有何位置關係？（2）e是∠adc與∠bcd的角平分線的交點，則de與ce有何位置關係？
練習答案：
1. 24 2. d 3. c
4. 過d作de∥ac交bc延長線於e，則四邊形aced為平行四邊形，∴de＝ac，ce＝ad. ∵梯形abcd為等腰梯形，∴ac＝bd，∴bd＝ed，∵bd⊥ac，∴bd⊥de.
在rt△bde中，bd2＋de2＝be2，即2bd2＝1002，bd＝50.
梯形中常見的輔助線總結
注意梯形割與補,巧變成為 和 基本圖形如下 1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰 兩底角等轉移到乙個三角形中,同時還得到平行四邊形 例1 已知 如圖2,在梯形abcd中,求證 例2 如圖,在梯形abcd 中,ad bc e f 分別是ad bc 的中點,若 ad 7 bc 15 求ef 2.延長梯形的...
梯形中常見輔助線的作法
一 平移一腰，轉化為三角形 平行四邊形 二 作高，轉化為兩直角三角形和一矩形 三 平移一對角線，轉化為三角形 平行四邊形 四 連線一頂點與一腰的中點，構造全等三角形 五 延長兩腰，轉化為三角形 1.如圖所示，在梯形abcd中，ad bc，ab 8，dc 6，b 45 bc 10，求梯形上底ad的長....
4 5梯形導學案 2 常見輔助線做法
4.5梯形 2 常見輔助線的做法學案 學習目標 學會用新增輔助線的方式將梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題求解。學習重點 難點 用適當的方法新增輔助線 學習過程 一 自學例題，探索規律 例1 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等於60 它的兩底分別為15cm和49cm，則它的腰長為 總結 本題新增輔助線...