求數列通項公式的十種方法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故因此，
則評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得則故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，從而可得當的表示式，最後再求出數列的通項公式。
四、待定係數法
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式，得，兩邊消去並整理，得，則
，故代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當時，，所以等式成立。
（2）假設當時等式成立，即，則當時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最後再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關係式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的不動點。
因為，所以
，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數列為等差數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
十、特徵根法
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：的相應特徵方程為，解之求特徵根是，所以。
由初始值，得方程組
求得從而。
評注：本題解題的關鍵是先求出特徵方程的根。再由初始值確定出，從而可得數列的通項公式。
求數列通項公式的十種方法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故因此，
則評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得則故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，從而可得當的表示式，最後再求出數列的通項公式。
四、待定係數法
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式，得，兩邊消去並整理，得，則
，故代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當時，，所以等式成立。
（2）假設當時等式成立，即，則當時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最後再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關係式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的不動點。
因為，所以
，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數列為等差數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
十、特徵根法
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：的相應特徵方程為，解之求特徵根是，所以。
由初始值，得方程組
求得從而。
評注：本題解題的關鍵是先求出特徵方程的根。再由初始值確定出，從而可得數列的通項公式。
數列通項公式的求解方法總結
求數列的通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某乙個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便於學生學習和老師的教學。一 累加法 利用an a1 a2 a1 ...
求解數列通項公式的常用方法
數列是高考中的重點內容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數列的一種形式 通項公式，在求數列問題中尤其重要。本文給出了求數列通項公式的常用方法。一 觀察法 例1 根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式 1 9，99，999，9999，2 3 4 解 1 變形為 101...
求解遞推數列通項公式的常用方法
型別一 可以求和 累加法 例1 在數列中，已知 1，當時，有，求數列的通項公式。解析 上述個等式相加可得 評注 一般情況下，累加法裡只有n 1個等式相加。型別一專項練習題 1 已知，求 2 已知數列，2，3 2，求。3 已知數列滿足，求數列的通項公式。4 已知中，求 5 已知,求數列通項公式.型別二...