一、公式法
高中重點學了等差數列和等比數列，當題目中已知數列是等差數列或等比數列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數列的公式來求通項，只需求得首項及公差或公比。
1、等差數列公式
例1、已知等差數列滿足a2=0，a6+a8=-10，求數列的通項公式。
解：設等差數列的公差為d，由已知條件可得解得
故數列的通項公式為
2、等比數列公式
例2、設是公比為正數的等比數列，，，求的通項公式。
解：設q為等比數列的公比，則由，
即，解得（捨去），因此
所以的通項為
3、通用公式
若已知數列的前項和的表示式，求數列的通項公式可用公式：
求解。一般先求出a1=s1，若計算出的an中當n=1適合時可以合併為乙個關係式，若不適合則分段表達通項公式。
例3、已知數列的前n項和，求的通項公式。
解：，當時
由於不適合於此等式 。 ∴
例4、已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式；
解：由當時，有
……，此過程詳見累加法）
經驗證也滿足上式，所以
點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合併．
專項訓練：
1、數列的前項和為求數列的通項公式。
（p113例3）
二、由遞推關係求通項公式
當題目中告訴了數列的任何前一項和後一項的遞推關係即：和an-1的關係時我們可以根據具體情況採用下列方法求出通項公式。
1、累加法（也叫逐差求和法，疊加法）
一般地，對於形如（f(n)為等差或等比數列或其它可求和的數列）類的通項公式，我們可以採用累加法來求。
解題思路：令n=2，3，…n—1代入中，得到n—1個式子，各式相加，正負抵消，求得通項，即： ；
例1、已知數列中，a1=1，對任意自然數n都有，求．
解：由已知得，
，……，，，
以上式子累加，
得：-=
利用）點評：累加法是反覆利用遞推關係得到n—1個式子累加求出通項，這種方法最終轉化為求的前n—1項的和，要注意求和的技巧．
例2、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而利用逐差求和法求得數列的通項公式。
專項訓練：
1、數列的首項為，為等差數列且．若則，，則（ ）
a．0 b．3c．8d．11
解：由已知知由疊加法
2、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：（1）由題知：
3、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以4、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故
因此，則
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而利用逐差求和法求得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
2、累乘法（疊乘法，也叫逐商求積法，）
一般地對於形如：或= (數列可求前項積)的形式,可通過疊乘法求數列的通項公式。
解題思路：令n=2，3，…n—1代入=中，得到n—1個式子，各式相乘，得： ，求得通項。
例1、在數列｛｝中，若=1, = ，求數列通項公式。
（p114例5）
點評：用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為。累乘法是反覆利用遞推關係得到n—1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求的前n—1項的積，要注意求積的技巧．
例2、在數列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表示式。
解：由(n+1)·=n·，得，
=··…=
所以例3．已知數列中，，前項和與的關係是，求通項公式．
解：由得
兩式相減得：，
，將上面n—1個等式相乘得：
專項訓練：
1、已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 2、已知,,求數列通項公式。
解：,即：,
且當時，滿足， .
3、迭代法
求形如(其中為常數) 的數列通項，可反覆利用遞推關係迭代求出。
例、已知數列滿足a1=1，且an+1 =+1，求．
解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=…=3n-1a1+3n-21+3n-31+…+31+1=
點評：因為運用迭代法解題時，一般資料繁多，迭代時要小心計算，應避免計算錯誤，導致走進死胡同．
4、構造法
當數列前一項和後一項即和an-1的遞推關係較為複雜時，我們往往對原數列的遞推關係進行變形，重新構造數列，使其變為我們學過的熟悉的數列（等比數列或等差數列）。具體有以下幾種常見方法。
（1）待定係數法
一般地對於an =kan-1 +m(k、m為常數）型，可化為的形式an +λ=k(an-1 +λ).設an +λ=bn, 則構造出乙個以b1=a1 +λ為首項，k為公比的等比數列｛bn｝，求出｛bn｝的通項公式，從而求出（相當於換元法）。
例1、已知數列滿足a1=1，且an+1 =+2，求．
解：設，則，
，為等比數列，首項為2，公比為3.
故，即：
點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定係數法構造新數列an+1+=p(an+)來求得。
例2、已知數列滿足a1=2且an+1求求數列通項公式。
（p114例7）
例3、（p114例8）
點評：遞推式為（p、q為常數）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數）型．
專項訓練：
1、已知數列中, , ,求的通項公式.
解：利用,求得,是首項為
,公比為2的等比數列,即,
2、已知無窮數列的前項和為，並且，求的通項公式？
解： ， ， ，又， .
反思：利用相關數列與的關係：,與提設條件，建立遞推關係，是本題求解的關鍵.
3、已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
4、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得 ⑦
由及⑦式， 得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
5、已知數列滿足求an．
解：設通
展開後，得．
由，解得，
條件可以化為
得數列為首項，為公差的等比數列，．問題轉化為利用累加法求數列的通項的問題，解得 ．
6、已知數列滿足求an．
解：將兩邊同除，得，變形為．
設，則．令，
得．條件可化成，
數列為首項，為公差的等比數列．
．因，所以=
得=．（2）倒數法
一般地形如、等形式的遞推數列可以用倒數法將其變形為我們熟悉的形式來求通項公式。
例1、已知數列滿足：，求的通項公式。
解：原式兩邊取倒數得：
， 即
例2、在數列{}中，，並且對任意都有成立，令．求數列{}的通項公式。
解：（1）當n=1時，,當時，
由，等式兩邊取倒數得：所以
所以數列是首項為3，公差為1的等差數列，
所以數列的通項公式為
反思:倒數變換有兩個要點需要注意:一是取倒數.二是一定要注意新數列的首項,公差或公比變化了.
專項訓練：
1、已知數列中, , ,求數列的通項公式.
解:將取倒數得:,,
是以為首項,公差為2的等差數列.,
2、已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：求倒數得為等差數列，
首項，公差為，
（3）對數法
當數列和an-1的遞推關係涉及到高次時，形如：anp = man-1q（其中m、p、q為常數）等，我們一般採用對數法，等式兩邊分別取對數，進行降次，再重新構造數列進行求解。
例1、已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…，證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
解：由已知，
，兩邊取對數得，即
是公比為2的等比數列.
例2、若數列{}中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=▁▁▁
解由題意知＞0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.
專項訓練：
1、各項為正數的數列{}中，a1=1，a2=10求的通項公式。（p115例9）
2、設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
解：兩邊取對數得：，，設，則是以2為公比的等比數列， ，，，∴
5、化歸法
想方設法將非常規問題化為我們熟悉的數列問題來求通項公式的方法即為化歸法．同時，這也是我們在解決任何數學問題所必須具備的一種思想。
例、已知數列滿足
求an解：當
兩邊同除以，
即成立，
∴首項為5，公差為4的等差數列．
點評：本題借助為等差數列得到了的通項公式，是典型的化歸法．常用的化歸還有取對數化歸，待定係數化歸等，一般化歸為等比數列或等差數列的問題，是高考中的常見方法．
數列通項公式的求法
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數列通項公式的求法總結結版
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數列通項公式的求法小結
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