第5－8課時課題：數列問題的題型與方法
一．複習目標：
1． 能靈活地運用等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式解題；
2．能熟練地求一些特殊數列的通項和前項的和；
3．使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題；
4．通過解決探索性問題，進一步培養學生閱讀理解和創新能力，綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力．
5．在解綜合題的實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的認識，溝通各類知識的聯絡，形成更完整的知識網路，提高分析問題和解決問題的能力．
6．培養學生善於分析題意，富於聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函式的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．
二．考試要求：
1．理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項。
2．理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解答簡單的問題。
3．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解決簡單的問題。
4．數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區分度。
有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函式、對數函式和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函式與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定係數法等基本數學方法。
應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化，常需構造數列模型，將現實問題轉化為數學問題來解決。
三．教學過程：
（ⅰ）基礎知識詳析
1．可以列表複習等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質.
2．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：
(1)定義法：對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。
(2)通項公式法：
①若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數列；
②若，則為等比數列。
(3)中項公式法：驗證都成立。
3.在等差數列中,有關sn的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
4.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
5．注意事項：
⑴證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明或而得。
⑵在解決等差數列或等比數列的相關問題時，「基本量法」是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便。
⑶對於一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。
⑷注意一些特殊數列的求和方法。
⑸注意與之間關係的轉化。如：
=， =．
⑹數列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列極限的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．
⑺解綜合題的成敗在於審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定資訊的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯絡和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．
⑻通過解題後的反思，找準自己的問題，總結成功的經驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力．
（ⅱ）範例分析
例1．已知數列是公差d≠0的等差數列，其前n項和為s．
(2)過點q (1，a)，q (2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ，
證明：(1)因為等差數列的公差d≠0，所以
kpp是常數(k=2，3，…，n)．
(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．
例2．已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
分析：由於和中的項都和中的項有關，中又有s=4a+2，可由s-s作切入點探索解題的途徑．
解：(1)由s=4a，s=4a+2，兩式相減，得s-s=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關係是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知s=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，數列是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2．
當n≥2時，s=4a+2=2 (3n-4)+2；當n=1時，s=a=1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為s=2 (3n-4)+2．
說明：1．本例主要複習用等差、等比數列的定義證明乙個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在於由條件得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全域性，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在後面求解的過程中適時應用．
例3．已知數列是首項a1＞0，q＞-1且q≠0的等比數列，設數列的通項b=a-ka (n∈n)，數列、的前n項和分別為s，t．如果t＞ks對一切自然數n都成立，求實數k的取值範圍．
分析：由探尋t和s的關係入手謀求解題思路。
解：因為是首項a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比數列，故
a=a·q，a=a·q．
所以b=a-ka=a (q-k·q)．
t=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-k·q)=s (q-kq)．
依題意，由t＞ks，得s (q-kq)＞ks， ①對一切自然數n都成立．
當q＞0時，由a1＞0，知a＞0，所以s＞0；
當-1＜q＜0時，因為a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以s=
綜合上面兩種情況，當q＞-1且q≠0時，s＞0總成立．
由①式可得q-kq＞k ②，
例4．(2023年全國理)從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年減少.本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加。
(ⅰ)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元.寫出an，bn的表示式(ⅱ)至少經過幾年旅遊業的總收入才能超過總投入?
解析：第1年投入800萬元，第2年投入800×（1-）萬元……，
第n年投入800×（1－）n－1萬元
所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］
同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×（1＋）萬元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1萬元
bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］
(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化簡得，5×（）n＋2×（）n－7＞0
設x＝（）n，5x2－7x＋2＞0 ∴x＜，x＞1（舍) 即（）n＜，n≥5.
說明：本題主要考查建立函式關係式，數列求和，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力。解數學問題應用題重點在過好三關：
（1）事理關：閱讀理解，知道命題所表達的內容；（2）文理關：將「問題情景」中的文字語言轉化為符號語言，用數學關係式表述事件；（3）數理關：
由題意建立相關的數學模型，將實際問題數學化，並解答這一數學模型，得出符合實際意義的解答。
例5．設實數，數列是首項為，公比為的等比數列，記，
求證：當時，對任意自然數都有=
解：。記①
②①+②得③
說明：本例主要複習利用錯位相減解決差比數列的求和問題。關鍵是先研究通項，確定是等差數列，等比數列。
解法一：設等差數列的首項a=a，公差為d，則其通項為
根據等比數列的定義知s≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法)
解法二：
依題意，得
例7．設二次方程x-+1x+1=0(n∈n)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
(1)試用表示a；
例8．在直角座標平面上有一點列，對一切正整數，點位於函式的圖象上，且的橫座標構成以為首項， 為公差的等差數列。
⑴求點的座標；
⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直於軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切於的直線的斜率為，求：。
⑶設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，，求的通項公式。
解：（1）
（2）的對稱軸垂直於軸，且頂點為.設的方程為：
把代入上式，得，的方程為：。， =
（3），
t中最大數.
設公差為，則，由此得
說明：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關鍵在於算出及求數列的公差。
例9．數列中，且滿足
⑴求數列的通項公式；
⑵設，求；
⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，
由題意得，.
（2）若，
時， 故
（3）若對任意成立，即對任意成立，
的最小值是， 的最大整數值是7。
即存在最大整數使對任意，均有
說明：本例複習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題。
例10．如圖，在y軸的正半軸上依次有點其中點，且，在射線上依次有點點的座標為（3，3），且
⑴用含的式子表示；
⑵用含的式子表示的座標；
⑶求四邊形面積的最大值。
解：（1），
（2）由（1）得
的座標，
是以為首項，為公差的等差數列
（3）連線，設四邊形的面積為，則
單調遞減.
的最大值為.
說明：本例為數列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函式單調性求最值。
例11．設正數數列為一等比數列，且a=4，a=16．
說明：這是2023年全國高考上海試題，涉及對數、數列、極限的綜合題，主要考查等比數列的定義及通項公式，等差數列前n項和公式，對數計算，求數列極限等基礎知識，以及綜合運用數學知識的能力．
第50課時數列的綜合
一 填空題 1 已知實數滿足，則的取值範圍是 2 已知 是直線與圓的交點，則的取值範圍為 3 對於在區間上有意義的兩個函式和，如果對任意，均有,那麼我們稱和在上是接近的 若與在閉區間上是接近的，則的取值範圍是 4 乙隻半徑為r的球放在桌面上，桌面上一點a的正上方相距 1 r處有一點光源o，oa與球相...
高三教案 第5 8課時課題 數列問題的題型與方法
一 複習目標 1 能靈活地運用等差數列 等比數列的定義 性質 通項公式 前n項和公式解題 2 能熟練地求一些特殊數列的通項和前項的和 3 使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題 4 通過解決探索性...
數列問題的題型與方法
一 考試內容 數列 等差數列及其通項公式，等差數列前n項和公式 等比數列及其通項公式，等比數列前n項和公式。二 考試要求 1 理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項。2 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能...