一．複習目標：
1． 能靈活地運用等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式解題；
2．能熟練地求一些特殊數列的通項和前項的和；
3．使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題；
4．通過解決探索性問題，進一步培養學生閱讀理解和創新能力，綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力．
5．在解綜合題的實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的認識，溝通各類知識的聯絡，形成更完整的知識網路，提高分析問題和解決問題的能力．
6．培養學生善於分析題意，富於聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函式的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．
二．考試要求：
1．理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項。
2．理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解答簡單的問題。
3．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解決簡單的問題。
4．數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區分度。
有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函式、對數函式和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題**現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函式與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定係數法等基本數學方法。
應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化，常需構造數列模型，將現實問題轉化為數學問題來解決。
三．教學過程：
（ⅰ）基礎知識詳析
1．可以列表複習等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質.
2．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：
(1)定義法：對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。
(2)通項公式法：
①若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數列；
②若，則為等比數列。
(3)中項公式法：驗證都成立。
3.在等差數列中,有關sn的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
4.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
5．注意事項：
⑴證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明或而得。
⑵在解決等差數列或等比數列的相關問題時，「基本量法」是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便。
⑶對於一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。
⑷注意一些特殊數列的求和方法。
⑸注意與之間關係的轉化。如：
=， =．
⑹數列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列極限的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．
⑺解綜合題的成敗在於審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定資訊的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯絡和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．
⑻通過解題後的反思，找準自己的問題，總結成功的經驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力．
（ⅱ）2023年高考數學數列綜合題選
1．（2023年高考數學北京卷，18）函式是定義在［0，1］上的增函式，滿足且，在每個區間（1，2……）上，的圖象都是斜率為同一常數k的直線的一部分。
（i）求及，的值，並歸納出的表示式;
（ii）設直線，，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2……），記，求的表示式，並寫出其定義域和最小值。
分析：本小題主要考查函式、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.
解：（i）由，得
由及，得. 同理，.
歸納得.
（ii）當時,
.所以是首項為，公比為的等比數列,
所以.的定義域為1，當時取得最小值.
2．（2023年高考數學北京卷，20）給定有限個正數滿足條件t：每個數都不大於50且總和l＝1275.現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大於150且分組的步驟是：
首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組餘差；
然後，在去掉已選入第一組的數後，對餘下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的餘差為；如此繼續構成第三組（餘差為）、第四組（餘差為）、……，直至第n組（餘差為）把這些數全部分完為止.
（i）判斷的大小關係，並指出除第n組外的每組至少含有幾個數;
（ii）當構成第n（n （iii）對任何滿足條件t的有限個正數，證明：.
分析：本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.
解：（i）。除第n組外的每組至少含有個數
（ii）當第n組形成後，因為，所以還有數沒分完，這時餘下的每個數必大於餘差，餘下數之和也大於第n組的餘差，即
,由此可得.
因為，所以.
（iii）用反證法證明結論，假設，即第11組形成後，還有數沒分完，由（i）和（ii）可知，餘下的每個數都大於第11組的餘差，且,
故餘下的每個數 . （*）
因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大於.
此時第11組的餘差
這與（*）式中矛盾，所以.
3．（2023年高考數學重慶卷，22）設數列滿足
（1）證明對一切正整數n 成立；
（2）令,判斷的大小，並說明理由。
（i）證法一：當不等式成立.
綜上由數學歸納法可知，對一切正整數成立.
證法二：當n=1時，.結論成立.
假設n=k時結論成立，即
當的單增性和歸納假設有
所以當n=k+1時，結論成立.
因此，對一切正整數n均成立.
證法三：由遞推公式得
上述各式相加並化簡得
（ii）解法一：
解法二：
解法三：
故.4．（2023年高考數學江蘇卷，20）設無窮等差數列的前n項和為sn.
(ⅰ)若首項，公差，求滿足的正整數k；
(ⅱ)求所有的無窮等差數列，使得對於一切正整數k都有成立.
分析：本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.
解：（i）當時，
由，即又.
（ii）設數列的公差為d，則在中分別取k=1,2,得
由（1）得
當若成立若故所得數列不符合題意.
當若若.
綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：
① : an=0，即0，0，0，…；
② : an=1，即1，1，1，…；
③ : an=2n－1，即1，3，5，…，
（ⅲ）範例分析
例1．已知數列是公差d≠0的等差數列，其前n項和為s．
(2)過點q (1，a)，q (2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ，
證明：(1)因為等差數列的公差d≠0，所以
kpp是常數(k=2，3，…，n)．
(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．
例2．已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
分析：由於和中的項都和中的項有關，中又有s=4a+2，可由s-s作切入點探索解題的途徑．
解：(1)由s=4a，s=4a+2，兩式相減，得s-s=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關係是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知s=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，數列是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2．
當n≥2時，s=4a+2=2 (3n-4)+2；當n=1時，s=a=1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為s=2 (3n-4)+2．
說明：1．本例主要複習用等差、等比數列的定義證明乙個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在於由條件得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全域性，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在後面求解的過程中適時應用．
例3．已知數列是首項a1＞0，q＞-1且q≠0的等比數列，設數列的通項b=a-ka (n∈n)，數列、的前n項和分別為s，t．如果t＞ks對一切自然數n都成立，求實數k的取值範圍．
分析：由探尋t和s的關係入手謀求解題思路。
解：因為是首項a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比數列，故
a=a·q，a=a·q．
所以b=a-ka=a (q-k·q)．
t=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-k·q)=s (q-kq)．
依題意，由t＞ks，得s (q-kq)＞ks， ①對一切自然數n都成立．
當q＞0時，由a1＞0，知a＞0，所以s＞0；
當-1＜q＜0時，因為a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以s=
綜合上面兩種情況，當q＞-1且q≠0時，s＞0總成立．
由①式可得q-kq＞k ②，
例4．(2023年全國理)從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年減少.本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加。
(ⅰ)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元.寫出an，bn的表示式(ⅱ)至少經過幾年旅遊業的總收入才能超過總投入?
第5 8課時數列問題的題型與方法
第5 8課時課題 數列問題的題型與方法 一 複習目標 1 能靈活地運用等差數列 等比數列的定義 性質 通項公式 前n項和公式解題 2 能熟練地求一些特殊數列的通項和前項的和 3 使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和...
高三數學複習全套第四章第5課時
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第十單元酸和鹼 第三課時常見的鹼鹼的化學性質 知識與技能 1 知道幾種常見鹼的主要性質和用途。2 認識鹼的腐蝕性及使用時的安全注意事項。4 認識氫氧化鈉和氫氧化鈣的化學性質，歸納鹼相似化學性質及其原因。過程與方法 1 進一步認識和體驗科學 的過程。2 運用實驗的方法獲取資訊，運用比較概括等方法對獲取...