平面法向量與立體幾何
引言：平面的法向量在課本上有定義，考試大綱中有「理解」要求，但在課本和多數的教輔材料中都沒有提及它的應用，其實平面的法向量是中學數學中的一顆明珠，是解立體幾何題的銳利**。本文介紹平面法向量的二種求法,並對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。
開發平面法向量的解題功能，可以解決不少立體幾何中有關角和距離的難題，使高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那麼每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕鬆。
一、平面法向量的概念和求法
1、定義：向量與平面垂直如果表示向量的有向線段所在的直線垂直於平面，則稱這個向量垂直於平面，記作。
平面的法向量如果，那麼向量叫做平面的法向量。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面的法向量[或，或]，在平面內任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關於的方程組，解此方程組即可得到。
方法二(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等於，（θ為,兩者交角，且），而與 , 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，把這三個向量移到同一始點o，並將右手拇指指向食指指向，那麼中指指向的方向就是的方向，即的方向（如圖1和圖2所示）且有。
則:（注：1、二階行列式:；2、適合右手定則。）
例1、已知，，試求（1）：（2）：
答案: (1);
例2、 如圖3中在稜長為1的正方體中，求平面的法向量和單位法向量。
解：法一（內積法）建立空間直角座標系，如圖3，則，。設平面的法向量。得，。
又面，得，。有，得。
，。法二：（外積法）我們由上可得，。
則：，注：從上可以看出，求平面的法向量我們用外積法更簡潔，我們以後可以嘗試應用這種方法
二、平面法向量的應用
1、 求空間角
(1)、求線面角：如圖4-1，設是平面的法向量，ab是平面的一條斜線，，則ab與平面所成的角為：
例3、 在例2中，求直線與平面所成的角。
解析：由例2知，，， ，即
(2)、求面面角:設向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：
（圖5-1）; (圖5-2)
兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。約定，在圖5-1中，的方向對平面而言向外，的方向對平面而言向內；在圖5-2中，的方向對平面而言向內，的方向對平面而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱「外積」，滿足「右手定則」）使得兩個半平面的法向量乙個向內乙個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。
例4、 在例2中，求二面角的大小。
解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，
設二面角的大小為，則
，得。2、 求空間距離
（1）、異面直線之間距離:
方法指導：如圖6,①作直線a、b的方向向量、，
求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；
②在直線a、b上各取一點a、b，作向量；
③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為
,其中（2）、點到平面的距離:
方法指導：如圖7,若點b為平面α外一點，點a為平面α內任一點，平面的法向量為，則點p到平面α的距離公式為：
例5、 在例2中，求點到平面的距離。
解析：由例2的解答知，平面的單位法向量，
又，設點到平面的距離為，則
。 所以，點到平面的距離為。
（3）、直線與平面間的距離:
方法指導：如圖8,直線與平面之間的距離：
，其中。是平面的法向量
（4）、平面與平面間的距離:
方法指導：如圖9,兩平行平面之間的距離：
，其中。是平面、的法向量。
3、 證明
（1）、證明線面垂直：在圖10中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。
（2）、證明線面平行：在圖11中,向是平面的法向量，
是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。
（3）、證明面面垂直：在圖12中，是平面的法向量，
是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）
（4）、證明面面平行：在圖13中,向是平面的法向量，
是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。
三、利用法向量解2023年高考立體幾何試題
例6、（湖南理第17題）如圖14所示，四稜錐p-abcd的底面abcd
是邊長為1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中點，pa⊥底面abcd，
pa＝2. （ⅰ）證明：平面pbe⊥平面pab;
（ⅱ）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.
解：如圖所示，以a為原點，建立空間直角座標系.則相關各點的座標分別是a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2）,
（ⅰ）因為平面pab的乙個法向量是，
所以共線.從而be⊥平面pab.
又因為平面pbe，故平面pbe⊥平面pab.
(ⅱ)易知
設是平面pbe的乙個法向量，則由得：
所以 設是平面pad的乙個法向量，則由得：
所以故可取
於是，故平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小是
點評：本題採用常規方法（即綜合法）求這個二面角的平面角比較困難，而用向量法只要計算不出問題，一般都能解決問題
例7、（全國卷ⅱ理科第19題)如圖14，正四稜柱中，，點在上且．（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求二面角的大小．
解：以為座標原點，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角座標系．
依題設，．
，．（ⅰ）因為，，
故，．又，所以平面．
（ⅱ）設向量是平面的法向量，則
，．故，．令，則，，．
等於二面角的平面角，．
所以二面角的大小為．
點評：本題主要考查位置關係的證明及二面角的找法和計算，同時也考查學生的空間想象能力和推理能力。
例8、（北京卷理第16題）如圖15，在三稜錐中，，，，．（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求二面角的大小；（ⅲ）求點到平面的距離．
解又，．，平面．
平面，．
（ⅱ）如圖15，以為原點建立空間直角座標系．
則．設．，，．
設面bcp的法向量為，
， 設面cap的法向量為，
設二面角的平面角為，則：
二面角的大小為．
（ⅲ）設點c到平面的距離為，則：
點到平面的距離為．
點評：本題考查空間垂直關係應用及二面角問題，側重考查空間想象能力，以及考查空間座標的應用。再者本題求平面法向量時採用了外積法，較易判斷出法向量的方向。
例9（安徽卷理第18題）如圖16，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點
（ⅰ）證明：直線；（ⅱ）求異面直線ab與md所成角的大小；
（ⅲ）求點b到平面ocd的距離。
解：作於點p,如圖16,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立座標系
,(1)
設平面ocd的法向量為,則
即取,解得
(2)設與所成的角為,
,與所成角的大小為
(3)設點b到平面ocd的交流為,則為在向量上的投影的絕對值,
由, 得.所以點b到平面ocd的距離為
點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關係，異面直線所成的角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何的能力。
例10、（陝西卷理科第19題）三稜錐被平行於底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．（ⅰ）證明：平面平面；
（ⅱ）求二面角的大小．
解：（ⅰ）如圖17，建立空間直角座標系，
則，，．點座標為．
，．，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（ⅱ）平面，取為平面的法向量，
設平面的法向量為，則．
，如圖17，可取，則，
，即二面角為．
四、 用空間向量解決立體幾何的「三步曲」
(1)、建立空間直角座標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關係以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）、把向量的運算結果「翻譯」成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
五、總結：以上介紹了平面的法向量及其二種求法，我們教材上只介紹了用數量積（內積法）求法向量，而並沒有介紹用向量積（外積法）求法向量，希望大家注意靈活應用，我們以此為工具，解決了立體幾何中的部分難題。利用平面法向量解題，方法簡便，易於操作，可以避開傳統幾何中的作圖、證明的麻煩，又可彌補空間想像能力的不足，發揮代數運算的長處。
深入開發它的解題功能，平面法向題將在數學解題中起到越來越大的作用。
空間向量與立體幾何
一利用空間向量證明空間位置關係
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關係中最重要的位置關係，也是每年的必考內容，利用空間向量判斷空間位置關係更是近幾年高考題的新亮點。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且常考常新。
考向鏈結：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經常考查的乙個重要內容，一方面考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；另乙個方面考查「向量法」的應用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應的判定定理和性質定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010·安徽高考理科·ｔ18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點。
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】可以採用綜合法證明，亦可採用向量法證明。
【規範解答】
(1)(2)
(3)【方法技巧】1、證明線面平行通常轉化為證明直線與平面內的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉化為證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構造二面角的平面角，然後轉化到乙個合適的三角形中進行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以採用向量法建立空間直角座標系，轉化為向量問題進行求解證明。應用向量法解題，思路簡單，易於操作，推薦使用。
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