一招通解「二面角」和「點到平面的距離」
求「二面角」與「點到平面的距離」問題一直是高考命題的熱點，而這兩方面的題目又是很多學生感到頭痛的。事實上，這兩類問題有著較強的相關性，下面給出這兩類問題的乙個「統一」求解公式，讓你一招通解兩類問題，
定理：如下圖，若銳二面角的大小為，點a為平面內一點，若點a到二面角稜cd的距離為，點a到平面的距離ah=d，則有。
說明：中含有3個引數，已知其中任意2個可求第3個值。其中是指二面角的大小，d表示點a到平面的距離，m表示點a到二面角稜cd的距離。
值得指出的是：可用來求解點到平面的距離，也可用於求解相關的二面角大小問題。其優點在於應用它並不強求作出經過點a的二面角的平面角∠abh，而只需已知點a到二面角稜的距離，與二面角大小，即可求解點a到平面的距離，或已知兩種「距離」即可求二面角的大小。
這樣便省去了許多作圖過程與幾何邏輯論證，簡縮了解題過程。還要注意，當已知點a到平面的距離d與點a到二面角稜cd的距離m求解二面角的大小時，若所求二面角為銳二面角，則有；若所求二面角為鈍二面角，則
下面舉例說明該公式在解題中的應用。
例1. （2023年全國卷i理科20題）如下圖，已知四稜錐p-abcd，pb⊥ad，側面pad為邊長等於2的正三角形，底面abcd為菱形，側面pad與底面abcd所成的二面角為120°。
（1）求點p到平面abcd的距離；
（2）求面apb與面cpb所成二面角的大小。
分析：如上圖，作po⊥平面abcd，垂足為o，即po為點p到平面abcd距離。第（1）問要求解距離po，只需求出點p到二面角p-ad-o的稜ad的距離，及二面角p-ad-o的大小即可。
第（2）問要求解二面角a-pb-c的大小，只需求出點c到二面角a-pb-c稜pb的距離及點c到半平面apb的距離即可。
解：（1）如上圖，取ad的中點e，鏈結pe。由題意，pe⊥ad，即。
又二面角p-ad-o與二面角p-ad-b互補，所以二面角p-ad-o的大小為60°，即。於是由公式知：點p到平面abcd的距離為
。（2）設所求二面角a-pb-c的大小為，點c到平面pab的距離為d。
連線be，則be⊥ad（三垂線定理），ad⊥平面peb，因為ad∥bc，所以bc⊥平面peb，bc⊥pb，即點c到二面角稜pb的距離為2，即m=2。
又因為pe=be=，∠peb=120°，所以在δpeb中，由餘弦定理可求得pb=3。
取pb的中點f，鏈結af，因為pa=ab=2，則af⊥pb，，所以，即。又易求得，點p到平面abc的距離：。
根據等體積法，有
，即，所以，代入公式
。又由於面pbc⊥面peb，所以所求二面角a-pb-c為鈍二面角，所以
點評：對於這個高考試題，許多考生反映第（2）問求解困難，失分較為嚴重。究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時存在計算障礙。
利用公式求解，省去了許多繁難的作圖過程與邏輯論證，其優勢顯而易見。
例2. 已知abcd是邊長為4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，gc垂直於abcd所在的平面，且gc=2，求點b到平面efg的距離。
分析：欲求點b到平面gef的距離，直接求解較困難。為此我們令平面gef作為某二面角的乙個半平面，當然二面角的另乙個半平面即為平面bef，為此我們只需找到該二面角的平面角及點b到二面角稜ef的距離即可。
解：如下圖，過b作bp⊥ef，交ef的延長線於p，鏈結ac交ef於h，鏈結gh，易證∠ghc就是二面角g-ef-c的平面角。
又，這就是點b到二面角c-ef-g稜ef的距離
因為gc=2，，所以，gh=，在rtδgch中，，於是由得所求點b到平面gef的距離：
。例3. 已知斜三稜柱abc-a1b1c1的側面a1acc1與底面abc垂直，∠abc=90°，bc=2，，且aa1⊥a1c，aa1=a1c。求頂點c與側面a1abb1的距離。
分析：如下圖所示，解答好本題的關鍵是找到底面abc的垂線a1d，找到了底面的垂線a1d，就可根據三垂線定理，作出側面a1abb1與底面abc所成二面角的平面角a1de，求出二面角a1-ab-c的平面角大小，就可依據公式找到點d到平面a1abb1的距離d，進而根據d為ac中點，也就不難求出點c到側面a1abb1的距離。
解：如上圖，在側面a1acc1內，作a1d⊥ac，垂足為d，因為aa1=a1c，所以d為ac的中點。又因為aa1⊥a1c，，a1d=ad=。
因為側面a1acc1⊥底面abc，其交線為ac，所以a1d⊥面abc。
過d作de⊥ab，垂足為e，連線a1e，則由a1d⊥面abc，得a1e⊥ab（三垂線定理），所以∠a1ed為側面a1abb1與面abc所成二面角的平面角。
由已知，ab⊥bc，得ed∥bc，又d是ac的中點，bc=2，所以de=1，，故∠a1ed=60°。
於是由公式知，點d到側面a1abb1的距離
。又點d為ac的中點，故而點c到側面a1abb1的距離為點d到側面a1abb1距離的2倍，於是知點c到側面a1abb1的距離為。
點評：本例先通過求側面a1abb1與面abc所成二面角的大小，進而利用公式求出點d到側面a1abb1的距離，再利用中點d的性質巧妙地求得c到側面a1abb1的距離，充分體現了轉化與化歸的思想方法在解題中的靈活運用。
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