高考理數圓錐曲線題型全方位歸納總結
第一、知識儲備：
1. 直線方程的形式
（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。
（2）與直線相關的重要內容
①傾斜角與斜率
②點到直線的距離 ③夾角公式：
（3）弦長公式
直線上兩點間的距離：
或（4）兩條直線的位置關係
①=-1 ②
2、圓錐曲線方程及性質
(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）
標準方程：
距離式方程：
引數方程：
(2)、雙曲線的方程的形式有兩種
標準方程：
距離式方程：
(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？
(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？
如：已知是橢圓的兩個焦點，平面內乙個動點m滿足則動點m的軌跡是（ ）
a、雙曲線；b、雙曲線的一支；c、兩條射線；d、一條射線
(5)、焦點三角形面積公式：
（其中）
(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為「左加右減，上加下減」。
（2）（3）(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？
第二、方法儲備
1、點差法（中點弦問題）
設、，為橢圓的弦中點則有
，；兩式相減得
=2、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關係一類的問題嗎？經典套路是什麼？如果有兩個引數怎麼辦？
設直線的方程，並且與曲線的方程聯立，消去乙個未知數，得到乙個二次方程，使用判別式，以及根與係數的關係，代入弦長公式，設曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然後-，整體消元······，若有兩個字母未知數，則要找到它們的聯絡，消去乙個，比如直線過焦點，則可以利用三點a、b、f共線解決之。若有向量的關係，則尋找座標之間的關係，根與係數的關係結合消元處理。一旦設直線為，就意味著k存在。
例1、已知三角形abc的三個頂點均在橢圓上，且點a是橢圓短軸的乙個端點（點a在y軸正半軸上）.
（1）若三角形abc的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc的方程;
（2）若角a為，ad垂直bc於d，試求點d的軌跡方程.
分析：第一問抓住「重心」，利用點差法及重心座標公式可求出中點弦bc的斜率，從而寫出直線bc的方程。第二問抓住角a為可得出ab⊥ac，從而得，然後利用聯立消元法及交軌法求出點d的軌跡方程；
解：（1）設b（,）,c(,),bc中點為(),f(2,0)則有
兩式作差有 (1)
f(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線bc的方程為
2)由ab⊥ac得 （2）
設直線bc方程為，得，
代入（2）式得，解得或
直線過定點（0，，設d（x,y），則，即
所以所求點d的軌跡方程是。
4、設而不求法
例2、如圖，已知梯形abcd中，點e分有向線段所成的比為，雙曲線過c、d、e三點，且以a、b為焦點當時，求雙曲線離心率的取值範圍。
分析：本小題主要考查座標法、定比分點座標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角座標系，如圖，若設c，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函式，整理，此運算量可見是難上加難.
我們對可採取設而不求的解題策略,
建立目標函式，整理,化繁為簡.
解法一：如圖，以ab為垂直平分線為軸，直線ab為軸，建立直角座標系，則cd⊥軸因為雙曲線經過點c、d，且以a、b為焦點，由雙曲線的對稱性知c、d關於軸對稱
依題意，記a，c，e，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點座標公式得
設雙曲線的方程為，則離心率
由點c、e在雙曲線上，將點c、e的座標和代入雙曲線方程得
由①式得
將③式代入②式，整理得
故由題設得，
解得所以雙曲線的離心率的取值範圍為
分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫座標表示，迴避的計算, 達到設而不求的解題策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由題設得，
解得所以雙曲線的離心率的取值範圍為
5、判別式法
例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點b到直線的距離為，試求的值及此時點b的座標。
分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從「有且僅有」這個微觀入手，對照草圖，不難想到：
過點b作與平行的直線，必與雙曲線c相切. 而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：
解題過程略.
分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂「有且僅有一點b到直線的距離為」，相當於化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：
簡解：設點為雙曲線c上支上任一點，則點m到直線的距離為：
於是，問題即可轉化為如上關於的方程.
由於，所以，從而有
於是關於的方程
由可知：
方程的二根同正，故恆成立，於是等價於
. 由如上關於的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .
點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全域性觀念與整體思維的優越性.
例4已知橢圓c:和點p（4，1），過p作直線交橢圓於a、b兩點，**段ab上取點q，使，求動點q的軌跡所在曲線的方程.
分析：這是乙個軌跡問題，解題困難在於多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過引數法求解.
因此，首先是選定引數，然後想方設法將點q的橫、縱座標用引數表達，最後通過消參可達到解題的目的.
由於點的變化是由直線ab的變化引起的，自然可選擇直線ab的斜率作為引數，如何將與聯絡起來？一方面利用點q在直線ab上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.
由a、b、p、q四點共線，不難得到，要建立與的關係，只需將直線ab的方程代入橢圓c的方程，利用韋達定理即可.
通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對於如何解決本題，已經做到心中有數.
在得到之後，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關於的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。
簡解：設，則由可得：，
解之得1）
設直線ab的方程為：，代入橢圓c的方程，消去得出關於 x的一元二次方程：
（2）∴代入（1），化簡得3)
與聯立，消去得：
在（2）中，由，解得，結合（3）可求得
故知點q的軌跡方程為： （）.
點評：由方程組實施消元，產生乙個標準的關於乙個變數的一元二次方程，其判別式、韋達定理模組思維易於想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.
，而「引參、用參、消參」三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.
6、求根公式法
例5設直線過點p（0，3），和橢圓順次交於a、b兩點，試求的取值範圍.
分析：本題中，絕大多數同學不難得到： =，但從此後卻一籌莫展, 問題的根源在於對題目的整體把握不夠.
事實上，所謂求取值範圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變數關於某個（或某幾個）引數的函式關係式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關於所求量的乙個不等關係.
分析1: 從第一條想法入手， =已經是乙個關係式，但由於有兩個變數，同時這兩個變數的範圍不好控制，所以自然想到利用第3個變數——直線ab的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關於k的表示式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關於的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
簡解1：當直線垂直於x軸時，可求得;
當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
解之得因為橢圓關於y軸對稱，點p在y軸上，所以只需考慮的情形.
當時，，，
所以 ===.
由 , 解得，
所以 ，
綜上 .
分析2: 如果想構造關於所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源.
由判別式值的非負性可以很快確定的取值範圍，於是問題轉化為如何將所求量與聯絡起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在於不是關於的對稱關係式. 原因找到後，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關於的對稱關係式.
簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
則令，則，
在（*）中，由判別式可得，
從而有 ，所以 ，解得 .
結合得.
綜上，.
點評：範圍問題不等關係的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變數的有界性法，函式的性質法，數形結合法等等. 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優美解法.
解題猶如打仗，不能只是忙於衝鋒陷陣，一時區域性的勝利並不能說明問題，有時甚至會被區域性所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全域性觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.
第三、推理訓練：數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。
在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關係（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。
例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓於兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。
高中理科數學解題方法篇 圓錐曲線 學
圓錐曲線 解題方法 知識儲備 1.直線方程的形式 1 直線方程的形式有五種 點斜式 兩點式 斜截式 截距式 一般式。2 與直線相關的重要內容 傾斜角與斜率 點到直線的距離 夾角公式 3 弦長公式 直線上兩點間的距離 或 4 兩條直線的位置關係 1 2 圓錐曲線方程及性質 1 橢圓的方程的形式有幾種？...
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