例1、已知三角形abc的三個頂點均在橢圓上，且點a是橢圓短軸的乙個端點（點a在y軸正半軸上）.
（1）若三角形abc的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc的方程;
（2）若角a為，ad垂直bc於d，試求點d的軌跡方程.
分析：第一問抓住「重心」，利用點差法及重心座標公式可求出中點弦bc的斜率，從而寫出直線bc的方程。第二問抓住角a為可得出ab⊥ac，從而得，然後利用聯立消元法及交軌法求出點d的軌跡方程；
解：（1）設b（,）,c(,),bc中點為(),f(2,0)則有
兩式作差有 (1)
f(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線bc的方程為
2)由ab⊥ac得 （2）
設直線bc方程為，得，
代入（2）式得，解得或
直線過定點（0，，設d（x,y），則，即
所以所求點d的軌跡方程是。
3、設而不求法
例2、如圖，已知梯形abcd中，點e分有向線段所成的比為，雙曲線過c、d、e三點，且以a、b為焦點當時，求雙曲線離心率的取值範圍。
分析：本小題主要考查座標法、定比分點座標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角座標系，如圖，若設c，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函式，整理，此運算量可見是難上加難.
我們對可採取設而不求的解題策略,
建立目標函式，整理,化繁為簡.
解法一：如圖，以ab為垂直平分線為軸，直線ab為軸，建立直角座標系，則cd⊥軸因為雙曲線經過點c、d，且以a、b為焦點，由雙曲線的對稱性知c、d關於軸對稱
依題意，記a，c，e，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點座標公式得
設雙曲線的方程為，則離心率
由點c、e在雙曲線上，將點c、e的座標和代入雙曲線方程得
由①式得將③式代入②式，整理得
故由題設得， 解得
所以雙曲線的離心率的取值範圍為
分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫座標表示，迴避的計算, 達到設而不求的解題策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由題設得，
解得所以雙曲線的離心率的取值範圍為
4、判別式法
例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點b到直線的距離為，試求的值及此時點b的座標。
分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從「有且僅有」這個微觀入手，對照草圖，不難想到：
過點b作與平行的直線，必與雙曲線c相切. 而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：
分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂「有且僅有一點b到直線的距離為」，相當於化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：
簡解：設點為雙曲線c上支上任一點，則點m到直線的距離為：
於是，問題即可轉化為如上關於的方程.
由於，所以，從而有
於是關於的方程
由可知：
方程的二根同正，故恆成立，於是等價於
. 由如上關於的方程有唯一解，判別式，就可解得 .
點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全域性觀念與整體思維的優越性.
例4已知橢圓c:和點p（4，1），過p作直線交橢圓於a、b兩點，**段ab上取點q，使，求動點q的軌跡所在曲線的方程.
分析：這是乙個軌跡問題，解題困難在於多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過引數法求解.
因此，首先是選定引數，然後想方設法將點q的橫、縱座標用引數表達，最後通過消參可達到解題的目的.
由於點的變化是由直線ab的變化引起的，自然可選擇直線ab的斜率作為引數，如何將與聯絡起來？一方面利用點q在直線ab上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.
由a、b、p、q四點共線，不難得到，要建立與的關係，只需將直線ab的方程代入橢圓c的方程，利用韋達定理即可.
通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對於如何解決本題，已經做到心中有數.
在得到之後，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關於的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。
簡解：設，則由可得：，
解之得1）
設直線ab的方程為：，代入橢圓c的方程，消去得出關於 x的一元二次方程：
（2）∴代入（1），化簡得3)
與聯立，消去得：
在（2）中，由，解得，結合（3）可求得
故知點q的軌跡方程為： （）.
點評：由方程組實施消元，產生乙個標準的關於乙個變數的一元二次方程，其判別式、韋達定理模組思維易於想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.
，而「引參、用參、消參」三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.
5、求根公式法
例5設直線過點p（0，3），和橢圓順次交於a、b兩點，試求的取值範圍.
分析：本題中，絕大多數同學不難得到： =，但從此後卻一籌莫展, 問題的根源在於對題目的整體把握不夠.
事實上，所謂求取值範圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變數關於某個（或某幾個）引數的函式關係式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關於所求量的乙個不等關係.
分析1: 從第一條想法入手， =已經是乙個關係式，但由於有兩個變數，同時這兩個變數的範圍不好控制，所以自然想到利用第3個變數——直線ab的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關於k的表示式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關於的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
簡解1：當直線垂直於x軸時，可求得;
當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
解之得因為橢圓關於y軸對稱，點p在y軸上，所以只需考慮的情形.
當時，，，
所以 ===.
由 , 解得，
所以 ，綜上 .
分析2: 如果想構造關於所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源.
由判別式值的非負性可以很快確定的取值範圍，於是問題轉化為如何將所求量與聯絡起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在於不是關於的對稱關係式. 原因找到後，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關於的對稱關係式.
簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
則令，則，
在（*）中，由判別式可得，
從而有 ，所以 ，解得結合得.
綜上，.
點評：範圍問題不等關係的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變數的有界性法，函式的性質法，數形結合法等等. 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優美解法.
解題猶如打仗，不能只是忙於衝鋒陷陣，一時區域性的勝利並不能說明問題，有時甚至會被區域性所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全域性觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.
第三、推理訓練：數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。
在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關係（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。
例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，．（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓於兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。
思維流程：
消元解題過程：
（ⅰ）如圖建系，設橢圓方程為,則
又∵即 ，∴
故橢圓方程為
（ⅱ）假設存在直線交橢圓於兩點，且恰為的垂心，則
設，∵，故，
於是設直線為 ，由得，
∵ 又得即
由韋達定理得
解得或（舍） 經檢驗符合條件．
點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然後轉化為兩向量乘積為零．
例7、已知橢圓的中心在座標原點，焦點在座標軸上，且經過、、三點．（ⅰ）求橢圓的方程：
（ⅱ）若點d為橢圓上不同於、的任意一點，，當δ內切圓的面積最大時，求δ內心的座標；
思維流程：
解題過程： （ⅰ）設橢圓方程為，將、、代入橢圓e的方程，得
解得.∴橢圓的方程 ．
（ⅱ），設δ邊上的高為
當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．
設δ的內切圓的半徑為，因為δ的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內切圓圓心的座標為.
點石成金：
例8、已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交於兩點.
（ⅰ）若線段中點的橫座標是，求直線的方程；
（ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由.
圓錐曲線解題方法技巧歸納教師版
第一 知識儲備 1.直線方程的形式 1 直線方程的形式有五件 點斜式 兩點式 斜截式 截距式 一般式。2 與直線相關的重要內容 傾斜角與斜率 點到直線的距離 夾角公式 3 弦長公式 直線上兩點間的距離 或 4 兩條直線的位置關係 1 5 中點座標公式 其中是點的中點座標。韋達定理 若一元二次方程有兩...
圓錐曲線解題技巧
圓錐曲線應試技巧總結 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中的 絕對值 ...
圓錐曲線解題技巧
圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中的 絕對值 與 ff 不...