高二圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩定義：
第一定義中要重視「括號」內的限制條件：橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於|ff|，定義中的「絕對值」與＜|ff|不可忽視。若＝|ff|，則軌跡是以f，f為端點的兩條射線，若﹥|ff|，則軌跡不存在。
若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
如方程表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b，c同號，a≠b）。
若，且，則的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b異號）。
如設中心在座標原點，焦點、在座標軸上，離心率的雙曲線c過點，則c的方程為_______（答：）
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。
如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是__（答：）
（2）雙曲線：由,項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
提醒：在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以（）為例）：①範圍：；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。
如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（答：3或）；
（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為__（答：）
（2）雙曲線（以（）為例）：①範圍：或；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。
（3）拋物線（以為例）：①範圍：；②焦點：
乙個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有乙個頂點（0,0）；④準線：
一條準線； ⑤離心率：，拋物線。
如設，則拋物線的焦點座標為________（答：）；
5、點和橢圓（）的關係：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；（3）點在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關係：
（1）相交： 直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有乙個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有乙個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
（2）相切： 直線與橢圓相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切；
（3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離。
提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有乙個公共點時的位置關係有兩種情形：相切和相交。
如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有乙個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有乙個交點；（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有乙個公共點的情況如下：①p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②p點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④p為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有乙個公共點：
兩條切線和一條平行於對稱軸的直線。
7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對於雙曲線。 如 （1）短軸長為，
練習：點p是雙曲線上上一點，為雙曲線的兩個焦點，且=24，求的周長。
8、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設ab為焦點弦， m為準線與x軸的交點，則∠amf＝∠bmf；（3）設ab為焦點弦，a、b在準線上的射影分別為a，b，若p為ab的中點，則pa⊥pb；（4）若ao的延長線交準線於c，則bc平行於x軸，反之，若過b點平行於x軸的直線交準線於c點，則a，o，c三點共線
9、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，則＝，若分別為a、b的縱座標，則＝，若弦ab所在直線方程設為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：
焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解。
10、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用「韋達定理」或「點差法」求解。
在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；
弦所在直線的方程垂直平分線的方程：
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。
提醒：因為是直線與圓錐曲線相交於兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！
11．了解下列結論
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為引數，≠0）。
（3）中心在原點，座標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直於對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點弦為ab，，則①；②
（7）若oa、ob是過拋物線頂點o的兩條互相垂直的弦，則直線ab恆經過定點
12.圓錐曲線中線段的最值問題：
例1、(1)拋物線c:y2=4x上一點p到點a(3,4)與到準線的距離和最小,則點 p的座標為
(2)拋物線c: y2=4x上一點q到點b(4,1)與到焦點f的距離和最小,則點q的座標為
分析：（1）a在拋物線外，如圖，連pf，則，因而易發現，當a、p、f三點共線時，距離和最小。
（2）b在拋物線內，如圖，作qr⊥l交於r，則當b、q、r三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2，）（2）（）
1、已知橢圓c1的方程為，雙曲線c2的左、右焦點分別為c1的左、右頂點，而c2的左、右頂點分別是c1的左、右焦點。
(1) 求雙曲線c2的方程；
(2) 若直線l：與橢圓c1及雙曲線c2恒有兩個不同的交點，且l與c2的兩個交點a和b滿足(其中o為原點)，求k的取值範圍。
解：（ⅰ）設雙曲線c2的方程為，則
故c2的方程為（ii）將
由直線l與橢圓c1恒有兩個不同的交點得
即.由直線l與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a，b得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值範圍為
2、在平面直角座標系xoy中，已知點a(0,-1)，b點在直線y = -3上，m點滿足mb//oa， maab = mbba，m點的軌跡為曲線c。
（ⅰ）求c的方程；（ⅱ）p為c上的動點，l為c在p點處得切線，求o點到l距離的最小值。
(ⅰ)設m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由願意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲線c的方程式為y=x-2. (ⅱ)設p(x,y)為曲線c：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。
則o點到的距離.又，所以
當=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.
3設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等於( )
4、過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓於點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為
5、已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝( )0
6、已知直線與拋物線相交於兩點，為的焦點，若，則( )
7、已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
8、設已知拋物線c的頂點在座標原點，焦點為f(1，0)，直線l與拋物線c相交於a，b兩點。若ab的中點為（2，2），則直線l的方程為
9、橢圓的焦點為，點p在橢圓上，若，則 ；的大小為 .
10、過拋物線的焦點f作傾斜角為的直線交拋物線於a、b兩點，若線段ab的長為8，則
【解析】設切點，則切線的斜率為.由題意有又解得:
雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是，於是兩焦點座標分別是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.
∴·＝【解析】設拋物線的準線為直線
恆過定點p .如圖過分別作於,於, 由,則,點b為ap的中點.鏈結,則,
點的橫座標為, 故點的座標為
, 故選d
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圓錐曲線知識點總結 1.圓錐曲線的兩定義 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中的 絕對值 與 ff...