解圓錐曲線問題常用方法+橢圓與雙曲線的經典結論+橢圓與雙曲線的對偶性質總結
解圓錐曲線問題常用以下方法：
1、定義法
（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。
（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，，當r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與「點到準線距離」互相轉化。
（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定**決更直接簡明。
2、韋達定理法
因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關係問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。
3、解析幾何的運算中，常設一些量而並不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為「設而不求法」。設而不求法對於直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題，常用「點差法」，即設弦的兩個端點a(x1,y1),b(x2,y2),弦ab中點為m(x0,y0)，將點a、b座標代入圓錐曲線方程，作差後，產生弦中點與弦斜率的關係，這是一種常見的「設而不求」法，具體有：
（1）與直線相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)，則有。
（2）與直線l相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)則有
（3）y2=2px（p>0）與直線l相交於a、b設弦ab中點為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例題】
例1、(1)拋物線c:y2=4x上一點p到點a(3,4)與到準線的距離和最小,則點 p的座標為
(2)拋物線c: y2=4x上一點q到點b(4,1)與到焦點f的距離和最小,則點q的座標為
分析：（1）a在拋物線外，如圖，連pf，則，因而易發現，當a、p、f三點共線時，距離和最小。
（2）b在拋物線內，如圖，作qr⊥l交於r，則當b、q、r三點共線時，距離和最小。
解：（1）（2，）
連pf，當a、p、f三點共線時，最小，此時af的方程為即 y=2 (x-1),代入y2=4x得p(2,2)，（注：另一交點為()，它為直線af與拋物線的另一交點，捨去）
（2）（）
過q作qr⊥l交於r，當b、q、r三點共線時，最小，此時q點的縱座標為1，代入y2=4x得x=，∴q()
點評：這是利用定義將「點點距離」與「點線距離」互相轉化的乙個典型例題，請仔細體會。
例2、f是橢圓的右焦點，a(1,1)為橢圓內一定點，p為橢圓上一動點。
（1）的最小值為
（2）的最小值為
分析：pf為橢圓的乙個焦半徑，常需將另一焦半徑或準線作出來考慮問題。
解：（1）4-
設另一焦點為，則(-1,0)連a,p
當p是a的延長線與橢圓的交點時,取得最小值為4-。
（2）3
作出右準線l，作ph⊥l交於h，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，∴∴
當a、p、h三點共線時，其和最小，最小值為
例3、動圓m與圓c1:(x+1)2+y2=36內切,與圓c2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心m的軌跡方程。
分析：作圖時，要注意相切時的「圖形特徵」：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的a、m、c共線，b、d、m共線）。列式的主要途徑是動圓的「半徑等於半徑」（如圖中的）。
解：如圖，，
∴∴ （*）
∴點m的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為
點評：得到方程（*）後，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，…相當於將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！
例4、△abc中，b(-5,0),c(5,0),且sinc-sinb=sina,求點a的軌跡方程。
分析：由於sina、sinb、sinc的關係為一次齊次式，兩邊乘以2r（r為外接圓半徑），可轉化為邊長的關係。
解：sinc-sinb=sina 2rsinc-2rsinb=·2rsina
∴即 （*）
∴點a的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）
∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
所求軌跡方程為（x>3）
點評：要注意利用定義直接解題，這裡由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）
例5、定長為3的線段ab的兩個端點在y=x2上移動，ab中點為m，求點m到x軸的最短距離。
分析：（1）可直接利用拋物線設點，如設a(x1,x12)，b(x2，x22)，又設ab中點為m(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關於x0的函式表示式，再用函式思想求出最短距離。
（2）m到x軸的距離是一種「點線距離」，可先考慮m到準線的距離，想到用定義法。
解法一：設a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab中點m(x0，y0)
則由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴， ≥
當4x02+1=3 即時，此時
法二：如圖，
∴， 即，
∴， 當ab經過焦點f時取得最小值。
∴m到x軸的最短距離為
點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關於x0的函式，這是一種「設而不求」的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點m到x軸的距離轉化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉化為a、b到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大於第三邊（當三角形「壓扁」時，兩邊之和等於第三邊）的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證ab是否能經過焦點f，而且點m的座標也不能直接得出。
例6、已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次變於a、b、c、d、設f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此題初看很複雜，對f(m)的結構不知如何運算，因a、b**於「不同系統」，a在準線上，b在橢圓上，同樣c在橢圓上，d在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段「投影」到x軸上，立即可得防
此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。
解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點f1(-1,0)
則bc:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
設b(x1,y1),c(x2,y2),則x1+x2=-
（2）∴當m=5時，
當m=2時，
點評：此題因最終需求，而bc斜率已知為1，故可也用「點差法」設bc中點為m(x0,y0),通過將b、c座標代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，∴，可見
當然，解本題的關鍵在於對的認識，通過線段在x軸的「投影」發現是解此題的要點。
【同步練習】
1、已知：f1，f2是雙曲線的左、右焦點，過f1作直線交雙曲線左支於點a、b，若，△abf2的周長為（ ）
a、4ab、4a+mc、4a+2md、4a-m
2、若點p到點f(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則p點的軌跡方程是
a、y2=-16x b、y2=-32x c、y2=16x d、y2=32x
3、已知△abc的三邊ab、bc、ac的長依次成等差數列，且，點b、c的座標分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點a的軌跡方程是（ ）
ab、cd、4、過原點的橢圓的乙個焦點為f(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是
a、 b、
c、 d、
5、已知雙曲線上一點m的橫座標為4，則點m到左焦點的距離是
6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是
7、已知拋物線y2=2x的弦ab所在直線過定點p(-2，0)，則弦ab中點的軌跡方程是
8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行於虛軸的弦長為
9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數只有乙個，則k
10、設點p是橢圓上的動點，f1，f2是橢圓的兩個焦點，求sin∠f1pf2的最大值。
11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到座標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數列，若直線l與此橢圓相交於a、b兩點，且ab中點m為(-2，1)，，求直線l的方程和橢圓方程。
12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為a、b、c、d。求證：。
【參***】
1、c，∴選c
2、c點p到f與到x+4=0等距離，p點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選c
3、d∵，且
∵點a的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又a、b、c三點不共線，即y≠0，故選d。
4、a設中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得，∴
①又c∴(x-1)2+y2<4 ②，由①，②得x≠-1，選a
5、左準線為x=-，m到左準線距離為則m到左焦點的距離為
6、設弦為ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)ab中點為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)
高中數學圓錐曲線小結論
橢圓1.點p處的切線pt平分 pf1f2在點p處的外角.2.pt平分 pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切...
高中數學圓錐曲線知識點總結
一 考點 限考 概要 1 橢圓 1 軌跡定義 定義一 在平面內到兩定點的距離之和等於定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大於焦距2c。用集合表示為 定義二 在平面內到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那麼這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，...
高中數學圓錐曲線知識點總結
一 考點 限考 概要 1 橢圓 1 軌跡定義 定義一 在平面內到兩定點的距離之和等於定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大於焦距2c。用集合表示為 定義二 在平面內到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那麼這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，...