圓錐曲線
一、知識結構
1.方程的曲線
在平面直角座標系中，如果某曲線c(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與乙個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關係：
(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.
點與曲線的關係若曲線c的方程是f(x,y)=0，則點p0(x0,y0)在曲線c上f(x0,y 0)=0；
點p0(x0,y0)不在曲線c上f(x0,y0)≠0
兩條曲線的交點若曲線c1，c2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則
f1(x0,y0)=0
點p0(x0,y0)是c1，c2的交點
f2(x0,y0) =0
方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點.
2.圓圓的定義
點集：｛m｜｜om｜=r｝，其中定點o為圓心，定長r為半徑.
圓的方程
(1)標準方程
圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
圓心在座標原點，半徑為r的圓方程是
x2+y2=r2
(2)一般方程
當d2+e2-4f＞0時，一元二次方程
x2+y2+dx+ey+f=0
叫做圓的一般方程，圓心為(-,-，半徑是.配方，將方程x2+y2+dx+ey+f=0化為
(x+)2+(y+)2=
當d2+e2-4f=0時，方程表示乙個點
(-,-);
當d2+e2-4f＜0時，方程不表示任何圖形.
點與圓的位置關係已知圓心c(a,b),半徑為r,點m的座標為(x0,y0)，則
｜mc｜＜r點m在圓c內，
｜mc｜=r點m在圓c上，
｜mc｜＞r點m在圓c內，
其中｜mc｜=.
(3)直線和圓的位置關係
①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關係
直線與圓相交有兩個公共點
直線與圓相切有乙個公共點
直線與圓相離沒有公共點
②直線和圓的位置關係的判定
(i)判別式法
(ii)利用圓心c(a,b)到直線ax+by+c=0的距離d=與半徑r的大小關係來判定.
3.橢圓、雙曲線和拋物線
橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.
4.圓錐曲線的統一定義
平面內的動點p(x,y)到乙個定點f(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是乙個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.
其中定點f(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率.
當0＜e＜1時，軌跡為橢圓
當e=1時，軌跡為拋物線
當e＞1時，軌跡為雙曲線
5.座標變換
座標變換在解析幾何中，把座標系的變換(如改變座標系原點的位置或座標軸的方向)叫做座標變換.實施座標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的座標與曲線的方程.
座標軸的平移座標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種座標系的變換叫做座標軸的平移，簡稱移軸.
座標軸的平移公式設平面內任意一點m，它在原座標系xoy中的座標是9x,y)，在新座標系x ′o′y′中的座標是(x′,y′).設新座標系的原點o′在原座標系xoy中的座標是(h,k)，則
x=x′+hx′=x-h
(1或(2)
y=y′+ky′=y-k
公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.
中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程
中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.
二、知識點、能力點提示
(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點
說明在求曲線方程之前必須建立座標系，然後根據條件列出等式進行化簡 .特別是在求出方程後要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求出的曲線方程才能準確無誤.另外，要求會判斷曲線間有無交點，會求曲線的交點座標.
三、 考綱中對圓錐曲線的要求：
考試內容：
. 橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質.橢圓的引數方程；
. 雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質；
. 拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質；
考試要求：
. (1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，理解橢圓的引數方程；
. (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質；
. (3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質；
. (4)了解圓錐曲線的初步應用。
四．對考試大綱的理解
高考圓錐曲線試題一般有3題(1個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計22分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數學高考中的壓軸題，綜合考查學生數形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈結, 使知識形成網路, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關係, 往往結合平面向量進行求解，在複習應充分重視。
求圓錐曲線的方程
【複習要點】
求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定係數法.
一般求已知曲線型別的曲線方程問題，可採用「先定形，後定式，再定量」的步驟.
定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.
定式——根據「形」設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個座標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).
定量——由題設中的條件找到「式」中特定係數的等量關係，通過解方程得到量的大小.
【例題】
【例1】 雙曲線=1(b∈n)的兩個焦點f1、f2，p為雙曲線上一點，
|op|＜5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比數列，則b2
解：設f1(－c,0）、f2(c,0)、p(x,y),則
|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)＜2(52+c2),
即|pf1|2+|pf2|2＜50+2c2,
又∵|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|－|pf2|)2+2|pf1|·|pf2|,
依雙曲線定義，有|pf1|－|pf2|=4,
依已知條件有|pf1|·|pf2|=|f1f2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,
又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
答案：1
【例2】 已知圓c1的方程為，橢圓c2的方程為
，c2的離心率為，如果c1與c2相交於a、b兩點，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線ab的方程和橢圓c2的方程。
解：由設橢圓方程為
設又 兩式相減，得 又即
將由得解得故所有橢圓方程
【例3】 過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓c相交於a、b兩點，直線y=x過線段ab的中點，同時橢圓c上存在一點與右焦點關於直線l對稱，試求直線l與橢圓c的方程.
解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓方程為x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在橢圓上.
則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，
(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
設ab中點為(x0,y0),則kab=－,
又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,
於是－=－1,kab=－1,
設l的方程為y=－x+1.
右焦點(b,0)關於l的對稱點設為(x′,y′),
由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求橢圓c的方程為=1,l的方程為y=－x+1.
解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓c的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),
將l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,
則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直線l：y=x過ab的中點(),則,
解得k=0，或k=－1.
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