立體幾何
．專題綜述：
立體幾何的主要任務是培養學生的空間想像能力，當然推理中兼顧邏輯思維能力的培養，幾何是研究位置關係與數量關係的學科，而位置關係與數量關係可以相互轉化，解決立體幾何的基本方法是將空間問題轉化為平面的問題，即空間問題平面化，平面化的手法有：平移（包括線、面、體的平移）、投影、展開、旋轉等變換。
1.考綱要求
（1）掌握平面的基本性質。會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關係的圖形，能夠根據圖形想像它們的位置關係。
（2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理：理解直線和平面垂直的概念，掌握直線和平面垂直的判定定理：掌握三垂線定理及其逆定理。
（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘。
（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量座標的概念，掌握空間向量的座標運算。
（5）掌握空間向量的數量積的定義及其性質：掌握用直角座標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間距離公式。
（6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念。
（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念，對於異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在座標表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質定理掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質定量。
（8）了解多面、凸多面體的概念，了解正多面體的概念。
（9）了解稜柱的概念，掌握稜柱的性質，會畫直稜柱的直觀圖。
（10）了解稜錐的概念，掌握正稜錐的性質，會畫正稜錐的直觀圖。
（11）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。
2.考題設定與分值
從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是1至3個填空或選擇題，1個解答題，分值25分左右
3.考試重點與難度
（1）空間基本的線、面位置關係。一般以客觀題的形式出現，試題很基礎，但需要全面、準確掌握空間線、面位置關係的判斷、性質，還需要有好的空間感。
（2）空間距離和角的計算。一般以主觀題的形式出現，以稜柱、稜錐或其部分圖為試題背景，其解題方法一般都在二種以上，並且一般都能用空間向量求解（但不一定是最簡單的解法）。立體幾何的解答題一般設定在解答題的前三題之一，所以試題不很難，屬中檔題。
（3）球的有關問題，特別是球面距離的計算，也是高考的重點考察內容。
（4）平面圖形的翻摺與空間圖形的鋪展能很好的考察學生的空間想象能力，這往往作為立體幾何試題的背景。
總之，立體幾何試題難度不大，是我們必須抓好的得分點。
二．考點選講
【考點1】空間基本的線、面位置關係的判斷
【例題1】設a、b是異面直線，給出以下五個命題：
①存在唯一平面，使a、b與α距離相等；
②空間存在直線c，使c上任一點到a、b的距離相等；
③夾在異面直線a、b間的三條異面直線段的中點不能共線；
④過空間任一點m，可作直線l與a、b均相交；
⑤經過直線a有且僅有乙個平面垂直於b。
正確的命題的個數是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
【解析】c
①存在過a、b公垂線段的中垂面只有1個；
②存在中垂面內與a和b所成角相等的直線c；
③正四面體abcd中，e、f為ab、cd中點，到bc、ef、ad三異面直線中點共線；
④m與a確定平面與b平行時，不存在l；
⑤反證法若 ，則b不一定成立。
【注】像這種題能全面考察學生對立體幾何的基礎知識的掌握情況，是一種較理想的考題，要引起重視。
【練習1】乙個透明密閉的正方體體容器中，恰好盛有容器一半容積的水，任意轉動這個正方體，則水面在容器中的形狀不可能是
a．菱形b．矩形
c．正六邊形 d．三角形
【提示】本小題轉化為立體問題就是：用乙個平面將正方體截為體積相等的兩部分，創截面是什麼圖形？
【考點2】角與距離的計算
【例題2】如圖稜長均為2的正四稜錐的側面展開圖，e是pa中點，則在正四稜錐中pb與ce所成角的余弦值為（ ）
a． b．
c． d．
【解析】在正四稜錐中，連線ab，cd，相交於o，連eo，則eo∥pb，∠ceo為異面直線pb與ce所成的角，oe＝1，oc＝，ce=，故cos∠ceo=
選b【注】角與距離的計算是立體幾何的重要考點，不僅可能出現在客觀題中，在主觀題中是一定要考的，我們要把用傳統方法和向量方法求角與距離的的步驟及相應的公式牢牢掌握。
【練習1】將正方形沿對角線bd折成二面角a—bd—c，若正方形的邊長為1，點a到平面bcd的距離為，則直線ab與cd所成角的余弦值為( )
a． b． c． d．
【練習2】若三稜錐a—bcd的側面abc內一動點p到稜ab的距離與到稜bc的距離相等，且∠abc=40°，則bp與平面bcd所成角θ的取值範圍是
【提示】如圖，p到稜ab為距離與到稜bc的距離相等，bp是abc的角平分線，故∠pbc20°，利用最小角定理知：θ∠pbc=20o
【練習2】已知平面與平面所成的二面角為，p為平面α、β外一定點，過點p的一條直線l與α、β所成角為，且這樣的直線l且只有4條，則角取值範圍為
【提示】將直線l與α、β所成的角轉化為l與其法向量的角思考，問題便轉化為直線所成的角的問題，欲使過p的直線l與α、β所成角為，只需直線l與平面α、β的法線所成角均為，即轉化為過空間一點的直線與兩異面直線所成角相等的問題。
【考點3】球與球面距離
【例題5】在半徑為r的球內有一內接正三稜錐，其底面上的三個頂點都在同乙個大圓上，乙個動點從三稜錐的乙個頂點出發沿球面運動，經過其餘三點後返回，則經過的最短路程是（ ）
a．2πr b．
cd．【解析】b
沿球面運動的最短距離可選:
=2【練習1】設直線與球o有且僅有乙個公共點p，從直線l出發的兩個半平面截球o的兩個截面和的半徑分別為1和2，若兩半平面所成二面角為120o，則球o的半徑r
【提示】
如圖:連，則，
從而o、四點共圓，且op為球o的半徑，在中，由餘弦定理得|o1o2|，又由正弦定理得:
2r=,
考點4】立體幾何的綜合
以解答題的形式綜合對立體幾何進行考察，這是高考的必考題，試題難度中檔，往往即可用傳統方法解，亦可用向量法解。一般題目是多問設定，既有位置關係的證明，又有角與距離的問題。
【例4】 如圖：abcd是正方形，de平面abcd，bf平面abcd，且abfbde；
（1）求證：平面aec平面afc；
（2）求ec與平面bcf所成角；
（3）在ef上是否存在一點m，使三稜錐m—acf是正三稜錐？若存在，試確定m位置；若不存在，請說明理由。
【練習1】四稜錐p—abcd，pa平面abcd，abcd是直角梯形，daab、cbab，pa2adbc2，ab，設pc與ad的夾角為
（1）求點a到平面pbd的距離；（2）求二面角b—pd—c的大小；
（3）求θ的大小，當平面abcd內有乙個動點q，始終滿足pq與ad的夾角為則此動點的軌跡是經過c的一條曲線c，試判斷曲線c的形狀；如果是直線，說出c與直線ad夾角；如果c是圓，說出圓心位置及半徑；如果c是圓錐曲線，則說也c的曲線型別，中心位置與離心率。
【練習2】已知斜三稜柱abc—a1b1c1的底面是直角三角形，，側稜與底面所成的角為 ，（），點b1在底面上的射影d落在bc上，
（1）求證：ac平面bb1c1c，
（2）當為何值時，ab1bc1，且使d恰為bc中點？
（3）若，且當acbcaa1時，求二面角c1—ab—c的大小。
三．專題訓練
立體幾何專題檢測
(時間：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．(2010·山東)在空間中，下列命題正確的是( )
a．平行直線的平行投影重合
b．平行於同一直線的兩個平面平行
c．垂直於同一平面的兩個平面平行
d．垂直於同一平面的兩條直線平行
2．(2011·聊城模擬)設m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：
①β∥γ； ②m⊥β；
③α⊥β； ④m∥α.
其中真命題的序號是( )
abcd．②④
3．(2010·福建)
如圖，若ω是長方體abcd－a1b1c1d1被平面efgh截去幾何體efghb1c1後得到的幾何體，其中e為線段a1b1上異於b1的點，f為線段bb1上異於b1的點，且eh∥a1d1，則下列結論中不正確的是( )
a．eh∥fg
b．四邊形efgh是矩形
c．ω是稜柱
d．ω是稜臺
4．正四面體的內切球與外接球的半徑之比為( )
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