高考衝刺：函式與不等式問題的解題技巧（編稿：林景飛審稿：張揚責編：嚴春梅）
熱點分析
高考動向
1．函式問題是高考每年必考的重要知識點之一， 分析歷年高考函式試題，大致有這樣幾個特點：
①常常通過選擇題和填空題，全面考查函式的基本概念，性質和圖象．
②在解答題的考查中，常常與不等式、導數、數列、甚至解析幾何等結合命題,以綜合題的形式出現．
③從數學具有高度抽象性的特點出發，沒有忽視對抽象函式的考查．
④湧現了一些函式新題型．
⑤函式類試題在試題中所佔分值一般為22---35分．
2. 不等式試題則有這樣幾個特點：
①在選擇題中常考查比較大小，解不等式等，可能與函式、方程、三角等知識結合出題.
②在選擇題與填空題中，需建立不等式求引數的取值範圍，以及求最大值和最小值的應用題.
③不等式與函式、方程、數列、應用題、解幾的綜合、突出滲透數學思想和方法.
④分值在27---32分之間，一般為2個選擇題，1個填空題，1個解答題．
3．通過分析，**在今年的高考試題中，選擇題與填空題中會出現一些與函式、方程、三角等知識結合的不等式問題，在解答題中會出現一些不等式的解法以及建立不等式求引數的取值範圍，和求最大值和最小值的應用題特別是不等式與函式、方程、數列、應用題、解幾的綜合題，會有與導數結合的函式單調性－函式極值－函式最值問題；這些題目會突出滲透數學思想和方法，值得注意。
知識昇華
1．了解對映的概念，理解函式的概念．
2．了解函式的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性的方法，並能利用函式的性質簡化函式圖象的繪製過程．
3．理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念、圖象和性質．
4．理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函式的概念、圖象和性質．
5．能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題．
6．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的複習，提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力．
7．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數形結合的方法解不等式．
8．通過複習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規方法(即通性通法)證明不等式的有關問題．
9．通過證明不等式的過程，培養自覺運用數形結合、函式等基本數學思想方法證明不等式的能力．
10．能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題．
11．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函式、數列、複數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識．
經典例題透析
型別一：函式的定義域及其求法
函式的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.這裡主要幫**生靈活掌握求定義域的各種方法，並會應用用函式的定義域解決有關問題.
例1．（廣東卷）已知函式的定義域為m，g(x)=的定義域為n，則m∩n=
（a） （b） （c） （d）
命題意圖：本題主要考查含有分式、無理式和對數的函式的定義域的求法.
解：函式的定義域m=
g(x)=的定義域n=
∴m∩n=．故選c
舉一反三：
變式1（安徽））函式的定義域為
答案： 解析：由且且得
變式2 (湖南卷）函式的定義域是( )
（a）(3,+∞) （b）[3c）(4d）[4, +∞)
答案：由，故選d.
變式3（全國i）函式的定義域為（ ）
a． b． c． d．
答案：c.
解析：由且得或.
型別二：復合函式問題
復合函式問題,是新課程、新高考的重點.此類題目往往分為兩類:一是結合函式解析式的求法來求復合函式的值.二是應用已知函式定義域求復合函式的定義域.
例2．（北京卷）對於函式①，②，③，判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：是偶函式；
命題乙：在上是減函式，在上是增函式；
能使命題甲、乙均為真的所有函式的序號是（ ）
命題意圖：本題主要考查利用復合函式和函式單調性等知識解決問題的能力.
解：是偶函式，
又函式開口向上且在上是減函式，在上是增函式．
故能使命題甲、乙均為真的函式僅有．
故選ｃ舉一反三：
變式1（安徽卷）函式對於任意實數滿足條件，
若則答案：
解析：由,得，
所以，則.
變式2（江西）若函式的值域是，則函式的值域是（ ）
a． b． c． d． 答案：
解析：令，則，
變式3（山東）設函式則的值為（ ）
abcd． 答案：a
解析：∵，
∴. 變式4（天津）已知函式，則不等式的解集是（ ）
(ab)
(cd答案：c
解析：∵等價於
或 ，
解得或，∴.
型別三：函式的單調性、奇偶性和週期性
函式的單調性、奇偶性和週期性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣. 這裡主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調性和週期性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函式與奇偶函式的圖象.
例3．（全國卷） 已知函式，若為奇函式，則________.
命題意圖：本題主要考查函式的解析式的求解以及函式的奇偶性應用.
常規解法：由為奇函式,所以,即
應填.巧妙解法：因為為奇函式且定義域,所以,即應填.
總結昇華：巧妙解法巧在利用了為奇函式,所以,這一重要結論.
舉一反三：
變式1（全國卷），是定義在上的函式，，則「，均為偶函式」是「為偶函式」的（ ）
a．充要條件b．充分而不必要的條件
c．必要而不充分的條件d．既不充分也不必要的條件
答案：解析：先證充分性：因為，均為偶函式，
所以，，有，
所以為偶函式．
反過來，若為偶函式，，不一定是偶函式．
如，，故選b.
方法二：可以選取兩個特殊函式進行驗證．
點評：對充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可．同時，對於抽象函式，有時候可以選取特殊函式進行驗證．
變式2（安徽）若函式、分別是上的奇函式、偶函式，且滿足，則有（ ）
ab．cd．答案：d
解析：∵ 即，
∴， ∴，
又∵單調遞增，
∴且.變式3 （上海）設函式是定義在r上的奇函式，若當時，，則滿足的x的取值範圍是
答案：解析：當時，；
當時，則，有；
∴，∴或或，
解得或.
變式4 （全國i）設奇函式在上為增函式，且，則不等式的解集為（ ）
a． b． c． d．
答案：d．
解析：由奇函式可知，而，則，
方法一：當時，；
當時，，
又在上為增函式，則奇函式在上為增函式，
∴.方法二：作出函式的示意圖，有
當時，即；
當時，，即.
變式5（北京）已知函式，對於上的任意，有如下條件：①； ②； ③．其中能使恆成立的條件序號是答案：②
解析：∵函式是偶函式，且，
又當時∴函式在上單調遞增
∴作出函式的示意圖，
有能使恆成立的條件：.
型別四：函式的圖象與性質
函式的圖象與性質是高考考查的重點內容之一，它是研究和記憶函式性質的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪製函式圖象的一般方法，掌握函式圖象變化的一般規律，能利用函式的圖象研究函式的性質.此類題目還很好的考查了數形結合的解題思想.
例4．函式的圖象大致是 ( )
（abcd）
命題意圖：本題主要考查對數函式的圖象及圖象的平移等知識.
解：.此函式圖象是由函式向右平移乙個單位得到的，故選a.
舉一反三：
變式1（全國i）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之後停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函式，其影象可能是（ ）
答案：a．
ab． c． d．
解析：根據汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結合函式影象可知。
變式2（全國ii）函式的影象關於（ ）
a．軸對稱 b． 直線對稱 c． 座標原點對稱 d． 直線對稱
答案：c
解析：∵函式是奇函式，∴影象關於座標原點對稱.
變式3（山東）函式的圖象是（ ）
abcd
答案：a
解析：∵函式是偶函式，
∴影象關於軸對稱，
又∵時， ，
∴選a，不能選c.
變式4（山東）設函式的圖象關於直線對稱，則的值為（ ）
(a) 3b)2c)1d)
答案：a
解析：∵函式的圖象關於直線對稱
∴即，把選項abcd的值逐一代入，可以確定選a.
型別五：以集合、簡易邏輯為背景的不等式
以集合、簡易邏輯為背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有關概念與運算為目的，或者以不等式為工具,來確定命題,解題時應注意將不等式的解法與集合的有關概念和運算相結合,準確解題.
例5. （北京卷文）記關於的不等式的解集為，不等式的解集為．
（i）若，求；
（ii）若，求正數的取值範圍．
命題意圖：本題主要考查集合的有關概念和運算及分式不等式和含絕對值的不等式的解法.
解：（i）由，得．
（ii）．
由，得，又，所以，
即的取值範圍是．
舉一反三：
變式1（江蘇）則的元素個數為答案：0
解析：由得，
因為，所以，因此，元素的個數為0。
變式2（山東卷）設，，則是的（ ）
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充要條件d）既不充分也不必要條件答案：a.
解析：由題設可得即或；
即或或，選(a)
變式3(福建)設集合,,那麼「」是「」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案：a.
解析：∵，∴，（如圖），
故「」是「」充分而不必要條件.
型別六：以線性規劃形式出現的不等式
以線性規劃形式出現的不等式,重在考查數形結合的解題能力.這種題目解題時要注意根據已知不等式組作出圖形,分析求解.
例6.（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成乙個三角形區域,表示該區域的不等式組是（ ）
（a） （b） （c） （d）
命題意圖：本題主要考查利用雙曲線的圖象性質和線性規劃的知識，體現數形結合能力.
解：作圖可知三角形區域在第一象限.即滿足，故選(a)
舉一反三：
變式1（福建）若實數x、y滿足則的取值範圍是( )
a.(0,1) bc.(1d.
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