數列型不等式放縮技巧八法
一利用重要不等式放縮
1． 均值不等式法
例1 設求證
解析此數列的通項為，，即
注：應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例2 已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯賽山東預賽題）
簡析例3 已知為正數，且，試證：對每乙個，.（88年全國聯賽題）
簡析由得，又，故，而，
令，則=，因為，倒序相加得=，
而，則=，所以，即對每乙個，.
例4 求證.
簡析不等式左邊
=，原結論成立.
2．利用有用結論
例5 求證
簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得 即
法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得
注：例5是2023年上海高考試題，以此題為主幹添「枝」加「葉」而編擬成2023年全國高考文科試題；進行公升維處理並加引數而成理科姊妹題。如理科題的主幹是：
證明(可考慮用貝努利不等式的特例)
例6 已知函式
求證：對任意且恆成立。（90年全國卷壓軸題）
簡析本題可用數學歸納法證明，詳參高考評分標準；這裡給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：
而由不等式得
(時取等號)
（），得證！
例7 已知用數學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數）（05年遼寧卷第22題）
解析結合第問結論及所給題設條件（）的結構特徵，可得放縮思路：
。於是，
即注：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即
例8 已知不等式表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：
求證（05年湖北卷第（22）題）
簡析當時，即
於是當時有
注：本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；
引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創新型試題的乙個顯著特點，有利於培養學生的學習能力與創新意識。
例9 設，求證：數列單調遞增且
解析引入乙個結論：若則（證略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即單調遞增。
以代入（）式得
此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。
注：上述不等式可加強為簡證如下：
利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有上述數列的極限存在，為無理數；同時是下述試題的背景：
已知是正整數，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題）
簡析對第（2）問：用代替得數列是遞減數列；借鑑此結論可有如下簡捷證法：數列遞減，且故即。
當然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數性質、貝努力不等式、甚至構造「分房問題」概率模型、建構函式等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。
二部分放縮
例10 設求證：
解析又（只將其中乙個變成，進行部分放縮），，
於是例11 設數列滿足，當時證明對所有有；（02年全國高考題）
解析用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
注：上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。
三添減項放縮
上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。
例12 設，求證.
簡析觀察的結構，注意到，展開得
，即，得證.
例13 設數列滿足（ⅰ）證明對一切正整數成立；（ⅱ）令，判定與的大小，並說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）
簡析本題有多種放縮證明方法，這裡我們對（ⅰ）進行減項放縮，有
法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；
法2則四利用單調性放縮
1． 構造數列
如對上述例1，令則，
遞減，有，故
再如例5，令則，即遞增，有，得證！
注：由此可得例5的加強命題並可改造成為探索性問題：求對任意使恆成立的正整數的最大值；同理可得理科姊妹題的加強命題及其探索性結論，讀者不妨一試！
2．建構函式
例14 已知函式的最大值不大於，又當時（ⅰ）求的值；（ⅱ）設，證明（04年遼寧卷第21題）
解析 （ⅰ）=1 ；（ⅱ）由得且用數學歸納法（只看第二步）：在是增函式，則得
例15 數列由下列條件確定：， ．（i）證明：對總有；(ii)證明：對總有（02年北京卷第（19）題）
解析建構函式易知在是增函式。
當時在遞增故
對(ii)有，建構函式它在上是增函式，故有，得證。
注：本題有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程式的根據；同時有著高等數學背景—數列單調遞減有下界因而有極限：
是遞推數列的母函式，研究其單調性對此數列本質屬性的揭示往往具有重要的指導作用。
五換元放縮
例16 求證
簡析令，這裡則有
，從而有
注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。
例17 設，，求證.
簡析令，則，，應用二項式定理進行部分放縮有
，注意到，則（證明從略），因此
六遞推放縮
遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結論進行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（ⅰ）之法2所得都是進行遞推放縮的關鍵式。
七轉化為加強命題放縮
如上述例11第問所證不等式右邊為常數，難以直接使用數學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題：再用數學歸納法證明此加強命題，就容易多了（略）。
例18 設，定義，求證：對一切正整數有
解析用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式
是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：
故將原問題轉化為證明其加強命題：
對一切正整數有（證明從略）
例19 數列滿足證明（01年中國西部數學奧林匹克試題）
簡析將問題一般化：先證明其加強命題用數學歸納法，只考慮第二步：
因此對一切有
八分項討論
例20 已知數列的前項和滿足
（ⅰ）寫出數列的前3項；（ⅱ）求數列的通項公式；（ⅲ）證明：對任意的整數，有（04年全國卷ⅲ）
簡析 （ⅰ）略，（ⅱ）；
（ⅲ）由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），於是
當且為偶數時
當且為奇數時（添項放縮）由知由得證。
參考文獻
[1]李錦旭等《例說高考題的科學背景》。華東師大《數學教學》2023年第11期。
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