高中數學競賽中不等式的解法
摘要：本文給出了競賽數學中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，並挑選了一些與這幾類不等式相關的一些競賽題進行了分析和講解。 希望對廣大喜愛競賽數學的師生有所幫助。
不等式在數學中占有重要的地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽數學中的熱門題型.在解決競賽數學中的不等式問題的過程中，常常要用到幾個著名的代數不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.
本文就將**這幾個不等式的證明和它們的一些應用.
1．排序不等式
定理1 設，則有
(倒序積和)
（亂序積和）（順序積和）
其中是實陣列乙個排列，等式當且僅當或時成立.
（說明： 本不等式稱排序不等式，俗稱倒序積和亂序積和順序積和.）
證明：考察右邊不等式，並記。
不等式的意義：當時，s達到最大值.因此，首先證明必須和搭配，才能使s達到最大值.也即，設且和某個搭配時有
1-1）
事實上，
不等式（1-1）告訴我們當時，調換和的位置（其餘n-2項不變），會使和s增加.同理，調整好和後，再調整和會使和增加.經過n次調整後，和s達到最大值，這就證明了.
再證不等式左端,
由及已證明的不等式右端，
得即例1 （美國第3屆中學生數學競賽題）設a,b,c是正數，求證：.
思路分析：考慮兩邊取常用對數，再利用排序不等式證明.
證明：不妨設，則有
根據排序不等式有：
以上兩式相加，兩邊再分別加上
有 即故
例2 設a,b,c，求證：.
思路分析：中間式子每項都是兩個式子之和，將它們拆開，再用排序不等式證明.
證明：不妨設，則且
根據排序不等式，有
兩式相加除以2，得
再考慮，並且
利用排序不等式，
兩式相加並除以2，即得
綜上所述，原不等式得證.
例3 設，而與是的兩個排列.
求證1-2）
思路分析：已知條件中有兩組有序實數，而式（1-2）具有「積和」形式，考慮使用排序不等式.
證明：令 （r=）
顯然因為 ， 且
由排序不等式
又因為所以且（注意到0）
故故原式得證.
2.均值不等式
定理2 設是n個正數，則稱為均值不等式.
其中，，
分別稱為的調和平均數，幾何平均數，算術平均數，均方根平均數.
證明： 先證.
記 ，令 ，
則原不等式
其中取使則由排序不等式，易證
下證因為]所以從上述證明知道，當且僅當時，不等式取等號.
下面證明
對n個正數，應用，得
即 （等號成立的條件是顯然的）.
例4已知，求證：.
證明：由於，，
有 從而
下證 ， 即。
又因為 ，等號在x= (這時y=)時取得
所以例5（imo）設a,b,c是正實數，且滿足abc=1.
證明：證明：令，其中x,y,z是正實數，將原不等式變形為
2-1）
記，注意到u,v,w任意兩個之和是乙個正數，所以它們中間至多有乙個負數.
如果恰有乙個負數，那麼，（2-1）式成立.
如果這三個數都大於0，由算術—幾何平均不等式
同理可證，，
於是即 ，（2-1）式得證.
例6 已知，且.
求證：.
思路分析：左邊各項形式較複雜，首先將其化簡為.
左邊為和的形式，但其各項之和難與右邊聯絡，利用算術平均大於幾何平均難以求證，而左邊各項可看為倒數形式，嘗試用調和平均.
證明：不等式左邊化為
，對，利用有
即所以 .
3．柯西不等式
定理3 設， （i=1,2,…n）,恒有不等式，當且僅當時，等式成立.
構造二次函式證明
當或時，不等式顯然成立
令 ，當中至少有乙個不為零時，可知a>0
構造二次函式，展開得： 故的判別式
移項得，得證。
向量法證明
令.則對向量有，由，，得當且僅當，即平行時等號成立。
數學歸納法證明
i ) 當n=1時，有，不等式成立。
當n=2時，
因為，故有
當且僅當，即時等號成立。
ii）假設n=k時不等式成立，即
當且僅當時等號成立。
那麼當n=k+1時，
當且僅當時等號成立，
即時等號成立。
於是n=k+1時不等式成立。
由i ) ii）可得對於任意的自然數n，柯西不等式成立。
利用恒等式證明
先用數學歸納法證明如下恒等式，然後證明柯西不等式：對於兩組實數有柯西—拉格朗日恒等式
由實數性質可得柯西不等式成立。
以上給出了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯西不等式的重要性。它的對稱和諧的結構、廣泛的應用、簡潔明快的解題方法等特點深受人們的喜愛。
所以，若將此定理作進一步剖析，歸納它的各類變形，將會有更多收穫。
柯西不等式的推廣
命題1若級數收斂，則有不等式。
證明：收斂，
收斂，且
從而有不等式成立。
命題2[3]
若級數收斂，且對有，則對定義在上的任意連續函式有不等式
證明：因為函式在區間上連續，所以函式在上可積，將區間n等分，取每個小區間的左端點為，由定積分的定義得：
令，則收斂，由柯西不等式得
從而有不等式
。赫爾德不等式[4]
設滿足則：，等號成立的充分必要條件是
證明：首先證明時，對任何正數a及b，有.
對凹函式有：
令代入以上不等式並對於，把這n個不等式相加.即
成立。等號成立的充分必要條件是：即
例7 設，求證：.
思路分析：注意到式子中的倒數關係，考慮運用柯西不等式來證明.
證明：因為0，故由柯西不等式，得
所以例8 已知實數，e滿足，求e的取值範圍.
思路分析：由聯想到應用柯西不等式.
解：因為
即即 ，所以 ，
故評述：此題十分巧妙地應用柯西不等式求最值，十分典型，它是將重要不等式應用於求最值問題的一道重要題目.
例9滿足，求的最小值.
解：容易猜到時，取最小值.
為了證明這一點，利用柯西不等式，得
只需要證明
等價於3-1）
由幾何—算術平均不等式，得
同理可證
以上三式相加，（3-1）式得證，進而證得
的最小值是，當且僅當時。
評述：柯西不等式中的的項如何拆成兩個因式和的積，可以說是應用此不等式的主要技巧（上例，我們將中的表示為和的積），正因為可以按照我們的需要加以分解，柯西不等式的應用更為廣泛.
例10 試問：當且僅當實數滿足什麼條件是，存在實數使得成立，其中，i為虛數單位，k=0,1,…,n. 證明你的結論.（高中聯賽，1997）
思路分析：將成立轉換到實數範圍內求解。根據表示式的特點，結合柯西不等式尋找的範圍.
解：將轉化到實數範圍內，即
3-2）
若存在實數使（3-2）成立，則.
由柯西不等式可得3-3）
如果，由（3-2）可知，從而
與 （3-3）矛盾
於是得3-4）
反之若（3-4）成立，有兩種情況：
⑴，則取，k=0,1,2,…,n，顯然（3-2）成立.
⑵，記，則不全為0.
不妨設，
取，並且取
易知（3-2）成立.
綜上，所求的條件為.
4．切比雪夫不等式
定理4 設，為任意兩組實數，若且或且，則
4-1）
若且或且，則
4-2）
當且僅當或時，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.
證明： 設為兩個有相同次序的序列，由排序不等式有
把上述n個式子相加，得
上式兩邊同除以，得
等號當且僅當或時成立.
例 10 設，
求證：證明：不妨令 ，則
由切比雪夫不等式，有
即從而證得
例11 已知.
求證：.
證明：取，則由，
可知，滿足切比雪夫不等式的條件，故
又由均值不等式，正數的調和平均數不大於它們的算術平均數，
即其中等號僅在時成立.
這樣就有
即而且等號僅在時成立.
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