全等三角形的提高拓展訓練
知識點睛
全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等．
尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：
(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊．
(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角．
(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊．
(4)有公共角的，公共角常是對應角．
(5)有對頂角的，對頂角常是對應角．
(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角)．
要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵．
全等三角形的判定方法：
(1) 邊角邊定理(sas)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．
(2) 角邊角定理(asa)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．
(3) 邊邊邊定理(sss)：三邊對應相等的兩個三角形全等．
(4) 角角邊定理(aas)：兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
(5) 斜邊、直角邊定理(hl)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會新增輔助線．
拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關係和大小關係．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．
例題精講
板塊一、截長補短
【例1】 (年北京中考題)已知中，，、分別平分和，、交於點，試判斷、、的數量關係，並加以證明．
【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交於點，與有怎樣的數量關係?
【變式拓展訓練】
如圖，點為正方形的邊上任意一點，且與外角的平分線交於點，與有怎樣的數量關係？
【例3】 已知：如圖，abcd是正方形，∠fad=∠fae. 求證：be+df=ae.
【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，鏈結、相交於點．求證：平分．
【例5】 (北京市、天津市數學競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作乙個的，點、分別在、上，求的周長．
【例6】 五邊形abcde中，ab=ae，bc+de=cd，∠abc+∠aed=180°，
求證：ad平分∠cde
板塊二、全等與角度
【例7】如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數.
【例8】在等腰中，，頂角，在邊上取點，使，
求.【例9】(「勤奮杯」數學邀請賽試題) 如圖所示，在中，，，又在上，在上，且滿足，，求.
【例10】 在四邊形中，已知，，，，求的度數.
【例11】 (日本算術奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，，，，，求的度數.
【例12】 (河南省數學競賽試題) 在正內取一點，使，
在外取一點，使，且，求.
【例13】 (北京市數學競賽試題) 如圖所示，在中，，為內一點，使得，，求的度數.
全等三角形證明經典50題（含答案）
1. 已知：ab=4，ac=2，d是bc中點，ad是整數，求ad
延長ad到e,使de=ad,
則三角形adc全等於三角形ebd
即be=ac=2 在三角形abe中,ab-be即:10-2<2ad<10+2 4又ad是整數,則ad=5
2. 已知：d是ab中點，∠acb=90°，求證：
3. 已知：bc=de，∠b=∠e，∠c=∠d，f是cd中點，求證：∠1=∠2
證明：連線bf和ef。
因為 bc=ed,cf=df,∠bcf=∠edf。
所以三角形bcf全等於三角形edf(邊角邊)。
所以 bf=ef,∠cbf=∠def。
連線be。
在三角形bef中,bf=ef。
所以 ∠ebf=∠bef。
又因為 ∠abc=∠aed。
所以 ∠abe=∠aeb。
所以 ab=ae。
在三角形abf和三角形aef中，
ab=ae,bf=ef,
∠abf=∠abe+∠ebf=∠aeb+∠bef=∠aef。
所以三角形abf和三角形aef全等。
所以 ∠baf=∠eaf (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，cd=de，ef//ab，求證：ef=ac
證明：過e點，作eg//ac，交ad延長線於g
則∠deg=∠dca，∠dge=∠2
又∵cd=de
∴⊿adc≌⊿gde（aas）
∴eg=ac
∵ef//ab
∴∠dfe=∠1
∵∠1=∠2
∴∠dfe=∠dge
∴ef=eg
∴ef=ac
5. 已知：ad平分∠bac，ac=ab+bd，求證：∠b=2∠c
證明：在ac上擷取ae=ab，連線ed
∵ad平分∠bac
∴∠ead=∠bad
又∵ae=ab，ad=ad
∴⊿aed≌⊿abd（sas）
∴∠aed=∠b，de=db
∵ac=ab+bd
ac=ae+ce
∴ce=de
∴∠c=∠edc
∵∠aed=∠c+∠edc=2∠c
∴∠b=2∠c
6. 已知：ac平分∠bad，ce⊥ab，∠b+∠d=180°，求證：ae=ad+be
證明：在ae上取f，使ef＝eb，連線cf
因為ce⊥ab
所以∠ceb＝∠cef＝90°
因為eb＝ef，ce＝ce，
所以△ceb≌△cef
所以∠b＝∠cfe
因為∠b＋∠d＝180°，∠cfe＋∠cfa＝180°
所以∠d＝∠cfa
因為ac平分∠bad
所以∠dac＝∠fac
又因為ac＝ac
所以△adc≌△afc（sas）
所以ad＝af
所以ae＝af＋fe＝ad＋be
12. 如圖，四邊形abcd中，ab∥dc，be、ce分別平分∠abc、∠bcd，且點e在ad上。求證：bc=ab+dc。
證明:在bc上擷取bf=ba,連線ef.
∠abe=∠fbe,be=be,則⊿abe≌δfbe(sas),∠efb=∠a;
ab平行於cd,則:∠a+∠d=180°;
又∠efb+∠efc=180°,則∠efc=∠d;
又∠fce=∠dce,ce=ce,故⊿fce≌δdce(aas),fc=cd.
所以,bc=bf+fc=ab+cd.
13.已知：ab//ed，∠eab=∠bde，af=cd，ef=bc，求證：∠f=∠c
ab//ed,ae//bd推出ae=bd,
又有af=cd,ef=bc
所以三角形aef 全等於三角形dcb，
所以:∠c=∠f
14. 已知：ab=cd，∠a=∠d，求證：∠b=∠c
證明：設線段ab,cd所在的直線交於e，（當adbc時，e點是射線ab,dc的交點）。
則：△aed是等腰三角形。
所以：ae=de
而ab=cd
所以：be=ce (等量加等量，或等量減等量）
所以：△bec是等腰三角形
所以：角b=角c.
15. p是∠bac平分線ad上一點，ac>ab，求證：pc-pb作b關於ad的對稱點b『，因為ad是角bac的平分線，b'**段ac上（在ac中間，因為ab較短）
因為pc16. 已知∠abc=3∠c，∠1=∠2，be⊥ae，求證：ac-ab=2be
∠bac=180-（∠abc+∠c=180-4∠c
∠1=∠bac/2=90-2∠c
∠abe=90-∠1=2∠c
延長be交ac於f
因為，∠1 =∠2，be⊥ae
所以，△abf是等腰三角形
ab=af,bf=2be
∠fbc=∠abc-∠abe=3∠c-2∠c=∠c
bf=cf
ac-ab=ac-af=cf=bf=2be
17. 已知，e是ab中點，af=bd，bd=5，ac=7，求dc
作ag∥bd交de延長線於g
age全等bde
ag=bd=5
agf∽cdf
af=ag=5
所以dc=cf=2
18．（5分）如圖，在△abc中，bd=dc，∠1=∠2，求證：ad⊥bc．
延長ad至h交bc於h;
bd=dc;
所以:∠dbc=∠角dcb;
∠1=∠2;
∠dbc+∠1=∠角dcb+∠2;
∠abc=∠acb;
所以:ab=ac;
三角形abd全等於三角形acd;
∠bad=∠cad;
ad是等腰三角形的頂角平分線
所以:ad垂直bc
19．（5分）如圖，om平分∠poq，ma⊥op,mb⊥oq，a、b為垂足，ab交om於點n．
求證：∠oab=∠oba
因為aom與mob都為直角三角形、共用om，且∠moa=∠mob
所以ma=mb
所以∠mab=∠mba
因為∠oam=∠obm=90度
所以∠oab=90-∠mab ∠oba=90-∠mba
所以∠oab=∠oba
20．（5分）如圖，已知ad∥bc，∠pab的平分線與∠cba的平分線相交於e，ce的連線交ap於d．求證：ad+bc=ab．
證明：做be的延長線，與ap相交於f點，
∵pa//bc
∴∠pab+∠cba=180°，
又∵，ae，be均為∠pab和∠cba的角平分線
∴∠eab+∠eba=90°∴∠aeb=90°，eab為直角三角形
在三角形abf中，ae⊥bf，且ae為∠fab的角平分線
∴三角形fab為等腰三角形，ab=af,be=ef
在三角形def與三角形bec中，
∠ebc=∠dfe,且be=ef，∠def=∠ceb，
∴三角形def與三角形bec為全等三角形，∴df=bc
∴ab=af=ad+df=ad+bc
21．（6分）如圖，△abc中，ad是∠cab的平分線，且ab=ac+cd，求證：∠c=2∠b
證明：在ab上找點e，使ae=ac
∵ae=ac，∠ead=∠cad，ad=ad
∴△ade≌△adc。de=cd，∠aed=∠c
∵ab=ac+cd，∴de=cd=ab-ac=ab-ae=be
∠b=∠edb
∠c=∠b+∠edb=2∠b
22．（6分）如圖①，e、f分別為線段ac上的兩個動點，且de⊥ac於e，bf⊥ac於f，若ab=cd，af=ce，bd交ac於點m．
（1）求證：mb=md，me=mf
（2）當e、f兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．
分析：通過證明兩個直角三角形全等，即rt△dec≌rt△bfa以及垂線的性質得出四邊形bedf是平行四邊形．再根據平行四邊形的性質得出結論．
解答：解：（1）連線be，df．
∵de⊥ac於e，bf⊥ac於f，，
∴∠dec=∠bfa=90°，de∥bf，
在rt△dec和rt△bfa中，
∵af=ce，ab=cd，
∴rt△dec≌rt△bfa，
∴de=bf．
∴四邊形bedf是平行四邊形．
∴mb=md，me=mf；
第十一章全等三角形小結
小雨，抱歉哈現在才發，有空就對對答案吧，我相信你都能做出來的！我就不詳細寫了，你注意格式就行，28號體能訓練加油啊！第十一章全等三角形小結 一 全等形 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。二 全等三角形 概念 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。注意 兩個三角形全等，互相重合的頂點叫做對應點，互相...
第十一章全等三角形總結
一 基礎填空。1 全等形 能夠完全的兩個圖形叫做全等形。2 全等三角形 能夠完全的兩個三角形叫做全等三角形，用符號記做的頂點叫做對應點，重合的邊叫 重合的角叫 3 全等三角形的相等，對應角 4 經過平移 翻摺 旋轉後的圖形與原圖形 5 全等三角形的判定 簡寫 6 角平分線上的點到角兩邊的相等。7 角...
第十一章「全等三角形」章節計畫
全等三角形 一章首先讓學生認識形狀 大小相同的圖形，給出全等三角形的概念，然後讓學生探索兩個三角形全等的判定方法，並利用三角形全等進行證明，最後學習角的平分線的性質及相關證明。11 1 全等三角形 1課時 11 2 三角形全等的判定 6課時 11 3 角的平分線的性質 2課時 數學活動 小結 2課時...