大學-----行列式經典例題
例1計算元素為aij = | i－j|的n階行列式.
解方法1 由題設知， =0，，，故
其中第一步用的是從最後一行起，逐行減前一行．第二步用的每列加第列．方法2
=例2. 設a, b, c是互異的實數, 證明:
的充要條件是a + b + c =0.
證明: 考察範德蒙行列式:
=行列式即為y2前的係數. 於是
= 所以的充要條件是a + b + c = 0.
例3計算d=
解： 方法1 遞推法按第1列展開，有
d= x d+（－1）a = x d+ a由於d= x + a，，於是d= x d+ a=x（x d+a）+ a=xd+ ax + a== xd+ ax++ ax + a=
方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分別加到第1列上===方法3 利用性質，將行列式化為上三角行列式．dx k= x ( + +++a+x)
=方法4 +
+++=（－1）（－1）a+（－1）（－1）ax++（－1）（－1）ax +（－1）( a+x) x= 例4． 計算n階行列式：
()解採用公升階（或加邊）法．該行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡後出現大量的零元素．
=這個題的特殊情形是
=可作為公式記下來．
例5．計算n階「三對角」行列式
d=解方法1 遞推法．
dd—d－d
即有遞推關係式 d=d－d (n3)故遞推得到
＝＝而，＝＝，代入得
2.1）
由遞推公式得
＝＝αd＋＝
＝＋＋＋＝
方法2 把d按第1列拆成2個n階行列式
d=＋上式右端第乙個行列式等於αd，而第二個行列式=β於是得遞推公式，已與（2.1）式相同．方法3 在方法1中得遞推公式
d=d－d
又因為當時 d==
===d= =-2
= =於是猜想，下面用數學歸納法證明．
當n=1時，等式成立，假設當nk 時成立．當n=k+1是，由遞推公式得
d=d－d
=—=所以對於nn，等式都成立
例6． 計算階行列式：
其中．解這道題有多種解法．
方法1 化為上三角行列式
其中，於是．
方法2 公升階（或加邊）法
方法3 遞推法．將改寫為
+由於因此=為遞推公式，而，於是
*****=
行列式總結
乙個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性 t span c 推論 r r 8 奇排列變成標準排列的對換次數為奇數，偶排列變成標準排列的對換次數為偶數 n階行列式也可定義為d 1 tap1ap2ap3 apn 其中t為行排列p1 p2 pn的逆序數 行列式等於它的任一行 列 的各元素與其對應的代數...
行列式總結
行列式 定理1 乙個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性 推論 奇排列變成標準排列的對換次數為奇數，偶排列變成標準排列的對換次數為偶數 定理2 n階行列式也可定義為d 1 tap1ap2ap3 apn 其中t為行排列p1 p2 pn的逆序數 性質1 行列式與它的轉置行列式相等 性質2 互換行列式...
行列式習題
行列式計算方法很多，技巧性較強，必須多練習，不斷總結 積累 拿到一道題首先要分析行列式的特點及其元素的規律性，針對其特徵，選用適當的方法 1 上面第二 三步是都是逐級按第二行展開。如果能化為三角形則更好。又解如下 2 3 1 2 160。此題兩個行列式各行 列 元素的和都相等。方法是把各行 列 都加...