1.遞推法
例1 求行列式的值：
1）的構造是：主對角線元全為；主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0；即為三對角線型。又右下角的（n）表示行列式為n階。
解把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。
把（1）的行列式按第一列展開，有兩項，一項是
另一項是
上面的行列式再按第一行展開，得乘乙個n – 2階行列式，這個n – 2階行列式和原行列式的構造相同，於是有遞推關係：
2）移項，提取公因子β：
類似地：
（遞推計算）
直接計算
若；否則，除以後移項：
再一次用遞推計算：
∴， 當β≠α （3）
當β=α，從
從而。由（3）式，若。∴
注遞推式（2）通常稱為常係數齊次二階線性差分方程.
注1 仿照例1的討論，三對角線型的n階行列式
3）和三對角線型行列式
4）有相同的遞推關係式
5）6）
注意兩個序列
和的起始值相同，遞推關係式（5）和（6）的構造也相同，故必有
由（4）式，的每一行都能提出乙個因子a ，故等於乘乙個n階行列式，這乙個行列式就是例1的。前面算出，故
例2 計算n階範德蒙行列式行列式
解:即n階範德蒙行列式等於這n個數的所有可能的差的乘積
2．拆元法
例3：計算行列式
解①×（x + a）
②×（x – a）
3．加邊法
例4 計算行列式
分析：這個行列式的特點是除對角線外,各列元素分別相同.根據這一特點,可採用加邊法.解
4．數學歸結法
例5 計算行列式 解：
猜測：證明
（1）n = 1, 2, 3時，命題成立。假設n≤k – 1時命題成立,考察n=k的情形：
故命題對一切自然數n成立。
5.消去法求三對角線型行列式的值
例6 求n階三對角線型行列式的值：
（1）的構造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其餘的元全為0。
解用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，於是第二行變為
其次從第三行減去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變為
再從第四行減去第三行的倍，則第四行變為
類似地做下去，直到第n行減去第n – 1行的倍，則第n行變為
最後所得的行列式為
（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為
93）又主對角線下方的元全為0。故的值等於（3）中各數的連乘積，即。
注3 一般的三對角線型行列式
4）也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到乙個三角型行列式，它的值等於該三角型行列式的主對角線元的連乘積。
6乘以已知行列式
例7 求行列式的值：
稱為迴圈行列式，各行自左到右均由迴圈排列而得，並使主對角線元全為
解設1的立方根為，即
其中i是虛數單位，又
右乘以行列式則1）
用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提後的元順次為，類似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和於是
因互不相等，幫它們所構成的凡德蒙行列式的值不為零，可以從上式的左右兩邊約去，得。
注4 在n階的一般情形，設1的n次方根為
則得行列式的值為
這裡的是由構成的n階迴圈行列式：
7利用線性代數方程組的解
例8 求n階行列式的值：
（1）的構造是：第i行的元順次為
又第n行的元順次為。
解 （1）的行列式與凡德蒙行列式
（2）的比值可以看成線性代數方程組
（3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式
但方程組（3）又可以看成n次多項式方程
（4）（t是未知數，看作係數）有n個根
用根與係數的關係，即得∴
8遞推方程組方法
例9 求行列式的值：
（1）是n階行列式（在右下角用（n）表示），其結構是：主對角線元全為x；主對角線上方的元全為y ,下方的元全為z。
解從 （1）的行列式的第一列減第二列，第二列減第三列，…，第n– 1列減第n列，得
（2）上面的行列式按第一行展開，有兩項，一項是（x – y）乘乙個n – 1階行列式，這個n –1階行列式和（2）中的n階行列式的構造相同，即上述展開的第一項可表示為；展開的另一項是
故遞推式
3）若z = y，則上式化為
4）類似地有
又故可對（4）式遞推計算如下：
上面得到原行列式當z = y時的值。下面討論z≠y的情形。
把（1）的行列式的y與z對調，這相當於原行列式的行與列互換，這樣的做法，行列式的值不變。於是y和z對調後，的值不變，這時（3）式變為
5）從（3）與（5）（遞推方程組）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相減得∴
注5 當z = y時，行列式也可以用極限計算：
又行列式當z = y時可以用餘式定理來做。
行列式的計算方法
黃正敏 莆田學院數學系2002級，福建莆田 摘要 歸納行列式的各種計算方法，並舉例說明了它們的應用，同時對若干特殊例子進行推廣。關鍵詞 行列式 範德蒙行列式 矩陣 特徵植 拉普拉斯定理 析因法 輔助行列式法 行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何乙個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。...
線性代數特殊行列式及行列式計算方法總結
一 幾類特殊行列式 1.上 下 三角行列式 對角行列式 教材p7例5 例6 2.以副對角線為標準的行列式 3.分塊行列式 教材p14例10 一般化結果 4.範德蒙行列式 教材p18例12 注 4種特殊行列式的結果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！二 低階行列式計算 二階 三階行列式 對角...
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