一、本章知識拓展
行列式按一行（列）展開的公式可以推廣到按行（列）展開，為此先需要將余子式和代數余子式的概念加以擴充.
定義1在n階行列式d中，任取k行k列，由這k行k列交叉處的k2個元素按照原來的相對位置構成的k階行列式n稱為原行列式d的乙個k階子式.劃去這k行k列後，餘下的元素按照原來的相對位置構成的(n－k)階行列式ｍ，稱為n的余子式.
例1設在d中取第
二、四兩行及第
三、五兩列，則它們交叉處的元素的構成d的乙個三階子式.
而劃去這兩行兩列，餘下的元素構成的三階行列式
便是n的余子式.
定義2 ，記為a，即
如例1中n的代數余子式為
拉普拉斯(laplace)展開定理在n階行列式d中，任取k行k列，則這k行k列上所有k階子式與它們對應的代數余子式的乘積之和等於d，即
d=n1 a1 +n2 a2 +…+ns as.
（證明從略）.
利用laplace展開定理計算行列式，當行列式的某些行（列）上的零元素很多，因而這些行（列）上許多子式都等於零，只有極少數子式不為零，按這些行（列）展開，將大大減少計算量，特別是只有乙個子式不為零時，例如
的前k行只有乙個k階子式不為零，按前k階展開，則
例2計算行列式.解
例3計算2n階行列式
.解將d2n按第一行和第2n行展開可得：
二、練習題
利用laplace展開計算下列行列式.
⑴；⑵.
（答案：⑴60；⑵128）
三、行列式單元綜合測試題ⅰ（60分鐘）
1、求下列排列的逆序數，從而決定它們的奇偶性.（每小題5分，共10分）
⑴134782695；⑵n(n-1)…21.
2、寫出4階行列式
中含因子的項，並指出它們所帶的正、負號.（10分）
3、由行列式定義計算：
中與的係數，並說明理由.（10分）
4、計算下列行列式.（每小題10分，共60分）
⑴；⑵；
⑶；⑷；
(5)；(6)
5、證明下列n階行列式（10分）
四、行列式單元綜合測試題ⅰ 答案
1、解⑴，此排列為偶排列.
⑵當n=4k或n=4k+1時，為偶數，故此時排列為偶排列；當n=4k+2或n=4k+3時，為奇數，故此時排列為奇排列.
2、解由行列式的定義，4階行列式中含因子的項共有項，分別為：
；；；；；.
3、解含的項只有，其係數為2；含的項只有，其係數為－１.
4、解⑴
⑵.⑶.
⑷當n=1時，d1= a1 +b1；
當n=2時，d2=(a1 –a2) (b2 –b1) ；
當n≥3時，把第1行的－1倍分別加到第i行，i=2,3,…,n，行列式不變，得
.綜上可得⑸⑹
5、證明：利用教學歸納法證明.
當n=2時，有
命題成立.
設命題對時成立，下面證明命題對也成立.將按第一行展開，有
這即證明時命題成立.
綜上可得命題成立.
五、行列式單元綜合測試題ⅱ（60分鐘）
1、求下列排列的逆序數，從而決定它們的奇偶性.（每小題5分，共10分）
⑴217986354； ⑵135…(2n-1)246…(2n)
2、證明下面的2001階行列式不等於零（10分）
3、設有行列式
d中的元素aij都是實數，且至少有乙個不等於零，證明：如果d的每乙個元素都等於它自己的代數余子式，那麼dn-2=1.（10分）
4、計算下列行列式（每小題10分，共60分）
⑴； ⑵；
⑶；⑷；
⑸；⑹.
5、設f (x)=c0+c1x+c2x2+…+ cnxn，證明：若f (x)有n+1個互異零點，則.（10分）
六、行列式單元綜合測試題ⅱ答案
1、解⑴，此排列為偶排列.
⑵當n=4k或n=4k+1時，為偶數，故此時排列為偶排列；當n=4k+2或n=4k+3時，為奇數，故此時排列為奇排列.
2、證明：題中行列式次對角線下的元素都是偶數.由定義可知，d的每一項由不同行不同列的元素的乘積得到，故除去次對解線元素這一項外，其餘每項必有次對角線的元素，故這些項都為偶數.
而次對角線上元素的乘積為奇數，從而所有項的代數和為奇數，故d的值為奇數，所以d不等於零.
3、證明：因為
且，所以有
故由題意aij都為實數，且至少有乙個不為零，故
，從而.
4、解⑴⑵⑶
⑷ ⑸⑹
故5、證明：設是f (x)的n+1個互異零點，則有
(1)式是關於的線性齊次方程組，其係數行列式為
由克萊姆法則知(1)只有唯一零解，即，故f (x)=0.
行列式總結
乙個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性 t span c 推論 r r 8 奇排列變成標準排列的對換次數為奇數，偶排列變成標準排列的對換次數為偶數 n階行列式也可定義為d 1 tap1ap2ap3 apn 其中t為行排列p1 p2 pn的逆序數 行列式等於它的任一行 列 的各元素與其對應的代數...
行列式總結
行列式 定理1 乙個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性 推論 奇排列變成標準排列的對換次數為奇數，偶排列變成標準排列的對換次數為偶數 定理2 n階行列式也可定義為d 1 tap1ap2ap3 apn 其中t為行排列p1 p2 pn的逆序數 性質1 行列式與它的轉置行列式相等 性質2 互換行列式...
行列式習題
行列式計算方法很多，技巧性較強，必須多練習，不斷總結 積累 拿到一道題首先要分析行列式的特點及其元素的規律性，針對其特徵，選用適當的方法 1 上面第二 三步是都是逐級按第二行展開。如果能化為三角形則更好。又解如下 2 3 1 2 160。此題兩個行列式各行 列 元素的和都相等。方法是把各行 列 都加...