行列式的幾種常見計算技巧和方法
2.1 定義法
適用於任何型別行列式的計算，但當階數較多、數字較大時，計算量大，有一定的侷限性．
例1 計算行列式.
解析：這是乙個四級行列式，在展開式中應該有項，但由於出現很多的零，所以不等於零的項數就大大減少．具體的說，展開式中的項的一般形式是．顯然，如果，那麼，從而這個項就等於零．因此只須考慮的項，同理只須考慮的這些項，這就是說，行列式中不為零的項只有，而，所以此項取正號．故
=.2.2 利用行列式的性質
即把已知行列式通過行列式的性質化為上三角形或下三角形.該方法適用於低階行列式．
2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：
，.例2 計算行列式.
解析：觀察行列式的特點，主對角線下方的元素與第一行元素對應相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對角線下方的元素全部變為零．即：化為上三角形．
解：將該行列式第一行的倍分別加到第2,3…（）行上去，可得
.2.2.2 連加法
這類行列式的特徵是行列式某行（或列）加上其餘各行（或列）後，使該行（或列）元素均相等或出現較多零，從而簡化行列式的計算．這類計算行列式的方法稱為連加法．
例3 計算行列式.
解： .
2.2.3 滾動消去法
當行列式每兩行的值比較接近時，可採用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動消去法．
例4 計算行列式.
解：從最後一行開始每行減去上一行，有
.2.2.4 逐行相加減
對於有些行列式，雖然前行的和全相同，但卻為零．用連加法明顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法．
例5 計算行列式.
解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得：
.2.3 降階法
將高階行列式化為低階行列式再求解．
2.3.1 按某一行（或列）展開
例6 解行列式.
解：按最後一行展開，得
.2.3.2 按拉普拉斯公式展開
拉普拉斯定理如下：設在行列式d中任意選定了個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數余子式的乘積的和等於行列式d.即
，其中是子式對應的代數余子式．即，
.例7 解行列式.
解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得
.2.4 公升階法
就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質化簡算出結果，這種計算行列式的方法叫做公升階法或加邊法．公升階法的最大特點就是要找每行或每列相同的因子,那麼公升階之後，就可以利用行列式的性質把絕大多數元素化為0，這樣就達到簡化計算的效果．
其中，新增行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．
例8 解行列式d=.
解：使行列式d變成階行列式，即
.再將第一行的倍加到其他各行，得：
d=.從第二列開始，每列乘以加到第一列，得：
.2.5數學歸納法
有些行列式，可通過計算低階行列式的值發現其規律，然後提出假設，再利用數學歸納法去證明．對於高階行列式的證明問題，數學歸納法是常用的方法．
例9 計算行列式.
解:用數學歸納法證明.
當時，.
當時，.
猜想，.
由上可知，當，時，結論成立．
假設當時，結論成立．即：.現證當時，結論也成立．
當時，.
將按最後一行展開，得.因為
，，所以
.這就證明了當時也成立，從而由數學歸納法可知，對一切的自然數，結論都成立．
即：.2.6 遞推法
技巧分析：若階行列式滿足關係式
.則作特徵方程
.1 若，則特徵方程有兩個不等根，則．
2 若，則特徵方程有重根，則．
在①②中， a，b均為待定係數，可令求出．
例10 計算行列式.
解：按第一列展開，得.即
．作特徵方程.解得
.則.當時，；
當時，.解得，
所以.3、行列式的幾種特殊計算技巧和方法
3.1 拆行（列）法
3.1.1 概念及計算方法
拆行（列）法（或稱**行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個或若干個行列式之和，然後再求行列式的值．拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不變，使其化為兩項和．
3.1.2 例題解析
例11 計算行列式.
解：把第一列的元素看成兩項的和進行拆列，得
上面第乙個行列式的值為1，所以
.這個式子在對於任何都成立，因此有
.3.2 構造法
3.2.1 概念及計算方法
有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構造乙個容易求解的行列式，從而求出原行列式的值．
3.2.2 例題解析
例12 求行列式.
解：雖然不是範德蒙德行列式，但可以考慮構造階的範德蒙德行列式來間接求出的值．
構造階的範德蒙德行列式，得
.將按第列展開，得
，其中，的係數為
.又根據範德蒙德行列式的結果知
.由上式可求得的係數為.故有
.3.3 特徵值法
3.3.1 概念及計算方法
設是級矩陣的全部特徵值，則有公式
.故只要能求出矩陣的全部特徵值，那麼就可以計算出的行列式．
3.3.2 例題解析
例13 若是級矩陣的全部特徵值，證明：可逆當且僅當它的特徵值全不為零．
證明：因為，則
可逆.即
可逆當且僅當它的特徵值全不為零．
4、幾類特殊的行列式的巧妙計算技巧和方法
4.1 三角形行列式
4.1.1 概念
形如，這樣的行列式，形狀像個三角形，故稱為「三角形」行列式．
4.1.2 計算方法
由行列式的定義可知，
,.4.2 「爪」字型行列式
4.2.1 概念
形如，，，這樣的行列式，形狀像個「爪」字，故稱它們為「爪」字型行列式．
4.2.2 計算方法
利用對角線消去行列式中的「橫線」或「豎線」，均可把行列式化成「三角形」行列式．此方法可歸納為：「爪」字對角消豎橫．
4.2.3 例題解析
例14 計算行列式，其中
分析：這是乙個典型的「爪」字型行列式，計算時可將行列式的第列元素乘以後都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式．
解: .
4.3 「麼」字型行列式
4.3.1 概念
形如，，，，，，，這樣的行列式，形狀像個「麼」字，因此常稱它們為「麼」字型行列式．
4.3.2 計算方法
利用「麼」字的乙個撇消去另乙個撇，就可以把行列式化為三角形行列式．此方法可以歸納為：「麼」字兩撇相互消．
注意：消第一撇的方向是沿著「麼」的方向，從後向前，利用消去，然後再用消去，依次類推．
4.3.3 例題解析
例15 計算階行列式.
解：從最後一行開始後一行加到前一行（即消去第一撇），得
.4.4 「兩線」型行列式
4.4.1 概念
形如這樣的行列式叫做「兩線型」行列式．
4.4.2 計算方法
對於這樣的行列式，可通過直接展開法求解．
4.4.3 例題解析
例16 求行列式.
解：按第一列展開，得
.4.5 「三對角」型行列式
4.5.1 概念
形如這樣的行列式，叫做「三對角型」行列式．
4.5.2 計算方法
對於這樣的行列式，可直接展開得到兩項遞推關係式，然後變形進行兩次遞推或利用數學歸納法證明．
4.5.3 例題解析
例17 求行列式.
解：按第一列展開，得
.變形，得
.由於，
從而利用上述遞推公式得.故
.4.6 vandermonde行列式
4.6.1 概念
形如這樣的行列式，成為級的範德蒙德行列式．
4.6.2 計算方法
通過數學歸納法證明，可得.
4.6.3 例題解析
例18 求行列式.
解：雖然不是範德蒙德行列式，但可以考慮構造階的範德蒙德行列式來間接求出的值．
構造階的範德蒙德行列式，得
.將按第列展開，得
，其中，的係數為
.又根據範德蒙德行列式的結果知
.由上式可求得的係數為,故有
.5、行列式的計算方法的綜合運用
有些行列式如果只使用一種計算方法不易計算，這時就需要結合多種計算方法，使計算簡便易行．下面就列舉幾種行列式計算方法的綜合應用．
5.1 降階法和遞推法
例19 計算行列式.
分析：乍一看該行列式，並沒有什麼規律．但仔細觀察便會發現，按第一行展開便可得到階的形式．
解：將行列式按第一行展開，得.即.
∴.∴.5.2 逐行相加減和套用範德蒙德行列式
例20 計算行列式解：從第一行開始，依次用上一行的倍加到下一行，進行逐行相加，得
.再由範德蒙德行列式，得
.5.3 構造法和套用範德蒙德行列式
例21 求行列式.
解：雖然不是範德蒙德行列式，但可以考慮構造階的範德蒙德行列式來間接求出的值．
構造階的範德蒙德行列式，得
.將按第列展開，得
，其中，的係數為
.又根據範德蒙德行列式的結果知
.由上式可求得的係數為.故有.
行列式的計算方法
1.遞推法 例1 求行列式的值 1 的構造是 主對角線元全為 主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0 即為三對角線型。又右下角的 n 表示行列式為n階。解把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。把 1 的行列式按第一列展開，有兩項，一項是 另一項是 上面的行...
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