第３１卷第１期
淮北煤炭師範學院學報（自然科學版）
２０１０年３月
ｍａｒ．２０１０
關於復矩陣的行列式不等式
王志偉 ，王偉賢２
（１．南京郵電大學計算機學院，江蘇南京２１０００３；２．南京理工大學泰州科技學院，江蘇泰州２２５３００）
摘要：文章利用矩陣理論及ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式，研究復矩陣的行列式不等式，得到乙個矩陣的行列式不等式．所得結
果修正了若干文獻中的錯誤結論．
關鍵詞：矩陣；行列式不等式不等式
中圖分類號：０ １５１．２１
文獻標識碼：ａ
文章編號
文【１］研究復正定矩陣的行列式不等式，指稱文［２—５】中的一些結論（即文［１】命題１—４）錯誤．但實際上，文［１］例２的計算有錯誤的值應為５．３６９．從而有這表明文［１】中的命題２，３，４對例２的矩陣 ，而言是正確的．因此，除了命題１，早在１９９３年，文［６］即已指出不正確外，其餘三個命題稱其錯誤是不對的．
１９９８年，文【７】依據文［２】的結論得到一些定理和推論，其錯誤已被文［８］指出．２０００年，文［９】得到乙個關於復亞正定陣行列式的廣義ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式，我們在下文中將指出，這個不等式也是錯誤的．由於這類不等式在多篇文獻**現，並且有些是錯誤的，所以，仔細研究是必要的．
我們在本文中，首先給出乙個復矩陣的行列式不等式．然後指出一些文獻中有關矩陣的行列式不等式
是此不等式的特例．最後，修正了一些文獻中的錯誤結論．
文中，ｍ＞０表示矩陣是ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩陣，ｌｄｅｔｍｉ表示矩陣的行列式的模．
引理¨ｄ 設
ｓ２，１
ｍ，當１時有
ｈ鄙＋ｎ稚曼１３（＋）ｍ．
（ｈ。）
ｊ＝ｌ＝１
ｉ＝１當ｑ ＝ｑｊ＜ｌ時有
１３鯽＋ｎ椎國 ＋）ｍ．
（ｈ）產１
』 １ｊ＝１
定理設ａ，ｂ∈ｃ ，ｂ可逆，並且召 ａ有ｒ個實特徵值個復特徵值口，＋＋ｂ，＋ｉ√一１，西又ａ，
均大於０，則
（１）當０ｆ中至少有乙個為０時，有十）特別地，當ｒ＝ｒｔ，鰳全
為０時有層＋ ａ）ｉ。．
（２）當ａｌ＞０，。，＋ｔ中至少有乙個不為０，並且（／－／，＋ｒ）２時有
而當（ｎ＋ｒ）＜２時有
２一一『』
（３）當ａｚ＞０，ｎ全為０，或者ｒ＝ｎ，ｍ＞０，並且（ｎ＋ｒ）＞－－２時有
收稿日期
作者簡介：王志偉（１９７６一 ），男，江蘇揚州人，講師，博士，研究方向：資訊保安、密碼學等
通訊作者：王偉賢，教授，從事資訊保安、密碼學研究
ｌ６淮北煤炭師範學院學報（自然科學版）
ｉｄｅｔ（
＋）２０１０血
而當時有２一『一
，證明由於矩陣可逆，所以一ａ）ｉ。．又由ｓｃｈｕｒ定理知，存
ａ在酉矩陣使＋ｎ
』（ａ）ｕ＝ａ一１
＋口，＋＋ｂ，＋√一１
＋由於所以
ｉｄｅｔ（ｍ＋一
））】．
ｆ＝１＝ｌ
（１）當田中至少有乙個為０時，顯然ｄｅｔｂ ａ＝０．由於，ｎ㈨
所以ｎｌｄｅｔ（ｍ＋一一ａ），
從而ｌｊ
即ｌｄｅｔ（人
當全為０時，
』＝。ｌｄｅｔｌ＋
ｉｄｅｔｂ ａｉ．
（２）當ａｔ＞０，ａ ＋中至少有乙個不為０，並且（ｎ＋ｒ）
２時，由於
∑號 （２）號
所以，利用（ｈ一）式有
ｄｅｔ（ｍ＋
ａ）ｉ＝
因此。ａ）ｉ
即當（ｎ＋ｒ）＜２時，由於（２ｒ＋ｓ）詈＝（ｎ＋ｒ）號＜１，所以，應用（ｈｚ）式有
，第ｌ期王志偉等：關於復矩陣的行列式不等式１７
ｉｄｅｔ（ｍ＋．８一＞－
－２川…川口＋）））】ｎ
（．二］．
１，ｄ 苦，由於
丁部為正（非負）數，所以矩陣ｂ－１ａ的特徵值實部均為正（非負）數令ａ（）
丁根據本文定理，由於 ：ｉ１
，音＜２，（ｒ為ｂ－１ａ的實特徵值的個數），所以，應
再看文［９］定理４：設ａ為ｎ階復亞正定陣，且而：（ａ），ｂ為凡階正定ｈｅｒｍｉｔｅ陣，則
１８淮北煤炭師範學院學報（自然科學版）２０１０年
其中ｒ是曰 ａ的實特徵值的個數，並且ｒ＜ｎ．若ｒ＝ｔ／，，則有
【１】趙禮峰．復正定矩陣的行列式不等式［ｊ】．數學研究與評論屠伯壎．亞正定矩陣理論（ｉｉ）ｆｊ］，數學學報
【３】呂蘊霞，張樹青．對「關於＜亞正定陣理論（ｉｉ）＞一文的錯誤」一文的註記［ｊ】．數學研究與評論何淦瞳．正定ｈｅｒｍｉｔｅ矩陣的若干行列式不等式ｆｊ】．數學研究與評論袁輝坪．復正定矩陣的ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式【ｊ］．數學研究與評論劉麥學．關於＜亞正定陣理論（ｉｉ）＞一文的錯誤【ｊ】．數學研究與評論謝清明．亞正定陣的幾個開問題及一些不等式［ｊ］．數學研究與評論
【８】王偉賢．關於廣義ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式的乙個註記［ｊ】．數學雜誌楊載樸．復亞正定矩陣的一些性質［ｊ】．數學研究與評論匡繼昌．常用不等式【ｍ］．３版．濟南：山東科學技術出版社，２００４．
證明行列式和矩陣等於零的幾種經典方法
前言 一 線代的特點 1 內容抽象 2 概念多 3 符號多 4 計算原理簡單但計算量大 5 證明簡潔但技巧性強 6 應用廣泛 二 學習中要注意的問題 1 不要急於求成，不要急於做難題。要分層次，扎扎實實的學習 2 熟練掌握基本內容。基本概念 定義 符號 基本結論 定理 公式 基本計算 計算行列式 解...
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