冪平均不等式:
注:例如:.
常用不等式的放縮法:①
②(2)柯西不等式:
(3)琴生不等式(特例)與凸函式、凹函式
若定義在某區間上的函式f(x),對於定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸(或凹)函式.
5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根軸法).
步驟:正化,求根,標軸,穿線(偶重根打結),定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論;
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.
(2)分式不等式的解法:先移項通分標準化,則
(3)無理不等式:轉化為有理不等式求解
(4).指數不等式:轉化為代數不等式
(5)對數不等式:轉化為代數不等式
(6)含絕對值不等式
應用分類討論思想去絕對值; 應用數形思想;
應用化歸思想等價轉化
⑴(p、q為二階常數)用特證根方法求解.
具體步驟:①寫出特徵方程(對應,x對應),並設二根②若可設,若可設;③由初始值確定.
⑵(p、r為常數)用①轉化等差,等比數列;②逐項選代;③消去常數n轉化為的形式,再用特徵根方法求;④(公式法),由確定.
①轉化等差,等比:.
②選代法:
.③用特徵方程求解:.
④由選代法推導結果:.
6. 幾種常見的數列的思想方法:
⑴等差數列的前項和為,在時,有最大值. 如何確定使取最大值時的值,有兩種方法:
一是求使,成立的值;二是由利用二次函式的性質求的值.
⑵如果數列可以看作是乙個等差數列與乙個等比數列的對應項乘積,求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法:錯位相減求和. 例如:
⑶兩個等差數列的相同項亦組成乙個新的等差數列,此等差數列的首項就是原兩個數列的第乙個相同項,公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2. 判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法:(1)定義法:對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3. 在等差數列{}中,有關sn 的最值問題:(1)當》0,d<0時,滿足的項數m使得取最大值.
(2)當<0,d>0時,滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
(三)、數列求和的常用方法
1. 公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用於其中是各項不為0的等差數列,c為常數;部分無理數列、含階乘的數列等。
3.錯位相減法:適用於其中是等差數列,是各項不為0的等比數列。
4.倒序相加法: 類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1): 1+2+3+...+n =
2) 1+3+5+...+(2n-1) =
3)4)5)6)⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法:
①②2()
③(為常數).
⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法:
①②(,)①
注①:i. ,是a、b、c成等比的雙非條件,即a、b、c等比數列.
ii. (ac>0)→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.
iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.
注意:任意兩數a、c不一定有等比中項,除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}()成等比數列.
⑷數列{}的前項和與通項的關係:
[注]: ①(可為零也可不為零→為等差數列充要條件(即常數列也是等差數列)→若不為0,則是等差數列充分條件).
②等差{}前n項和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零,則是等差數列的充分條件;若不為零,則是等差數列的充分條件.
③非零常數列既可為等比數列,也可為等差數列.(不是非零,即不可能有等比數列)
2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列,其公差為原公差的k2倍;
②若等差數列的項數為2,則;
③若等差數列的項數為,則,且,
.3. 常用公式:①1+2+3 …+n =
②③[注]:熟悉常用通項:9,99,999,…; 5,55,555,….
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